e cos (t? — ft

Celle équation est celle d'une seclion conique rapportée à son foyer. Dans le cas des planètes, a est toujours positif et e < 1 ; cette équation représente alors une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers : a est le demi-grand axe de la courbe, et e son excentricité. L'ellipse se change en une parabole lorsque a est infini et e égal à 1 ; et en une hyperbole lorsque a est négatif et e > 1. La discussion de cette équation (13) montre q^je r? et w sont les angles formés par le n yon vecteur r et la ligne des apsides avec un axe fixe silué dans le plan de Torbite, c'est-à-dire la longitude vraie delà planète et la longitude du périhélie. Quant à la différence t> — (0 de ces angles, qui fixe la distance de Tastre au périhélie , c'est ce qu'on nomme Vanomalie vraie de la planète.

IIL — Conditions qui déterminent l'espèce de la section

CONIQUE. — loi du MOUVEMENT.

Il est intéressant de rechercher, dans les circonstances du mouvement, les conditions qui déterminent la nature de la section conique décrite par le corps m dans son mouvement relatif autour de M.

Appelons, pour cela, V la vitesse du mobile au moment où ses coordonnées sont a?, y, z. Il est clair qu'on aura

dœ* + dy^ + dz^ __ dr^ + r^dv^ ^ "^ dt^ ■" dt^ '

et, par suite, Texpresslon (9) deviendra

r ' ou, en remplaçant C par sa valeur — *-»

Celte relation est très remarquable; elle montre que la vitesse y du mobile dans son orbite ne dépend que du grand axe et nullement de rexcenlricité.

On en tire

a r fi. '

et comme a est positif dans Tellipse, qu'il est infîni dans la parabole et négatif dans Thyperbole, on en conclut que Torbîte décrite par m est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que Ton a

R 'Venons maintenant aux équations (|ui précé Jeril '5. et (î>;.

Si, au lieu d'éliminer dl entre ces éqiialionis, on élimine civ,

on aura

rfr« , K^2a H — T

équation d'où Ton tire

rdr dtz= =

c'est-à-dire, ea remplaçant G et K par leurs valeurs (il),

, . la rdr^ . /£ rdir^

^ V ? si^ar — H — a* (1 — e*) ""V H- ^^^^^^^7(^317:^'

On rend cette équation inlégrable, en introduisant une variable auxiliaire u, liée à r par la relation

(14) r = a (1 — ô cosm) d'où dr = ae sin urfu

car il vient alors

(15) dt = i/— (1 — c C03 u) du,

expression dont Tlntégrale est

(16) n^ -f- c = M — e sin u, en posant

c est la constante introduite par Tintégration, u l'angle que Ton appelle anomalie excentrique^ et nt le moyen mouvement ou Tano/na^te moyenne àQ la planète m. Lorsqu'on prend pour origine du temps l'instant de la planète par le périhélie, ^ et M sont nuls en même temps; c disparaît donc, et Ton a

(18) nt =zu — e sin M.

Lorsque, au contraire, on convient de compter le temps à partir d'un instant quelconque après le passage au périhélie, l'angle nt se trouve augmenté de la constante e — a) , s dé-

signant la longitude moyenne de la planète à Torigine du temps ou la longitude de l'époque ; et, dans ce cas, on a

n^ + » — (o = w — e sin w, ou

(19) n (^ + 0 = " — e sin M,

en posant e — id = n/ = ^. ,

Soient T la durée de la révolution sidérale d'une planète m, et a sa distance moyenne au Soleil. En faisant u = ^tc dans la formule (18), on a

nt = 27r,

d*où

et, par suite,

t^ = -4^ ;pi-

Pour des masses planétaires égales, la quantité [x reste invariable; elle se réduit àJM lorsqu'on néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil. Dans ce cas, on a encore

T' et a' désignant respectivement le temps de la révolution sidérale et la moyenne distance d'une autre planète m'. On a donc

proposition qui n'est vraie, comme on le voit , qu'autant que Ton

64 LIVRE l — CHAPITRE ([

néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil. En éliminant r entre les équations (13) et (14), on obtient

e + cos (v — co)

COSW =■; — ; ; \^

d'où

1 — C08(l? — co) 1 + g 1 — COS tt ,