III. — Déplacements séculaires des périhélies et des nosuds

Les équations qui déterminent pour un temps indéfini les positions des périJiélies et des nœuds sont, comme nousFavons vu.

(1) tang 0) = -» tang 6 = -»

A, l,p et q devant être remplacés dans * ces équations par leurs valeurs (a) et (b).

Si Ton fait cette substitution d^ns la première des relations (1), on aura

^ Nsinf^^+a) + N, sin^,/+(i,)+...

* N cos {gt+(x)'\-^^ cos (^<^-f-aJ+...

d'où, en retranchant de Tangle cd celui ^^ + a qui répond au coefficient N,

tang (o)— ^^— a)

^N| sin [(.(^1 — ^) t + %^ ^d] +Na sin [(j/g— ^)^+tta— <^]+-'>

N+N^ cos [{^4— ^)^+*<— a] +NaCOs[(^a— ^)^+aa— a]-f...

Soit maintenant

N >N^+Na + N, 4-...

Il est clair que dans ce cas le dénominateur de rexpression

précédente ne pourra se réduire à zéro et que, par conséquent, tang (w — ^^ — a) ne pourra jamais devenir infini. Les oscillations de Tangle w — gi — a, seront donc comprises entre les limites + 90<» et — 90**, et ^^ + a représentera le moyen mouvement de Tangle ^ù ou du périhélie.

La même conclusion pouvant se tirer de la seconde des équations (1), on voit que, dans le cas particulier où le coefficient N est supposé plus grand que la somme de tous les autres coefficients pris positivement, les angles w et 0 sont renfermés dans des limites déterminées, et le nœud a nécessairement un mouvement de libration. Mais en dehors de ce cas, il est impossible de rien conclure, en général, sur la nature des angles a> et G : leurs variations séculaires n'étant plus limitées, les points déterminés par ces deux éléments peuvent tourner indéfiniment dans le même sens, et parcourir successivement tous les arcs de la circonférence; cependant, ce n*e8t qu'au bout de plusieurs milliers d'années que cette révolution entière peut s'accomplir.