I. — Développement des formules qui expriment les

VARIATIONS DIFFÉRENTIEUES DES ÉLÉMENTS DE L'oRBITE ELLIPTIQUE

Nous allons considérer dans ce Chapitre les inégalités qui dépendent de la position relative des orbites, et auxquelles donnent naissance, comme nous l'avons dit, les termes de la forme

cos ^ ' ^

Posons pour abréger

X = — » e = sin •]/ ;

d'où

e 1 +y/i -e' 1 -f cos ^- ~ ^ 2

Les formules qui déterminent les variations différentielles

THÉORIE DES INÉGALITÉS PÉRIODIQUES des éléments de l'orbite de m seront pages 141 et 147

X rfR

— = X cos ^ tang I -j^j ~ 2a JG

tang^ de

dK^

da

de ^^ , , tL 6/R dX. dK

di ^ ° 2 de tang i}/ c?(o

dt cos ^ dq dt COS r^ dp

Les deux dernières relations font connaître les variations de Tinclinaison et des nœuds de Torbite de m; mais on peut

leur donner une autre-forme, en exprimant — et -r- en fonctions de Tj, e, (I) et T.

En effet soient :

V et t?' les angles que forment, avec la commune intersection des orbites de m et de m', les rayons vecteurs ret r';

0 et 0' les longitudes des nœuds ascendants de ces orbites ;

ç et <p' les inclinaisons de leurs plans sur celui des a?y.

Si l'on suppose très petite Tinclinaison de Torbite de m sur ce pian fixe, et qu'on pose

p = sin cp sin ô , ^ = sin ^ cos ô , on aura

^ == r sin (i? — ô) sin (f=rqsmv — rp cos v , d'où en supposant la fonction R développée par rapport à z,

dK dRdz

dR

-j- = -r--r-= -r-rCOSr,

dp dz dp dz

dR dRdz dR

-y- = — - -7- = -j- r sm V.

dq dz dq dz

ASTRONOMIE THÂORIQfJE

L expression de — est

dR , (z' — z z\

et si Ton prend pour plan des xy^ le plan de Torbîte de m à une époque déterminée, rinclinaison de son orbite primitive sur le plan fixe ainsi que l'ordonnée z seront de Tordre des forces perturbatrices. En négligeant donc le carré de ces forces, on pourra faire ^ z= o, ce qui donnera

dz

Mais le plan fixe coïncidant, à Torigine du temps, avec le plan de Torbite de m, on a à cette époque

e = 0' = T, y = (p', <p = o , en sorte que

z' = r' sin [v' — t) sin y.

On a donc

et par conséquent

= — >»' (^-3 — 75) ^' C08 t? sin (r — t) sin y,

dK

dp

•^ = ^ \^ — -pi)^^ smrsm (t? — T)smY.

Y représente dans ces formules TincUnaison mutuelle des deux orbites et t la longilude du nœud de Torbite de m' sur celle de m.

Maintenant on a

dv df dv c?e ' d<ù

dR dRdg dR dRdi^ c?Y dp dy di df c?t

On a d'ailleurs

p* = r* -|- r^ — 2rf cos(t?' — v) (l — sin* - y)

— 2rr'cos(r+t?— 2T)sin»|Y = r«+r'^

. — 2rr' cos {v'—v) ces ^~ y — 2 rr' cos (t?' -f ^ — 2t) sin* - y ;

d'où l'on tire

dR , (i i\

p -j2 = — rr' [sin(t?' — t?) cos* 3 y — sin (i? -f- 1?' — 2t) sin* ^ y]> p ^ = - rr' sin y [cos(w' — t?) — cos (t?' + r — 2t) ] ,

2 rr' sin* - y ^^^ (t?' + 1? — 2t).

(a) Pour démoolrer celte relation, il sufflt de remarquer que, d'après les formules du mouvement elliptique, Tangle ni n*est introduit dans R que par la substitution des valeurs de r et de v. Or, comme dans ces valeurs Tangle ni est toujours accompagné des angles -f s et — «, on a

d*où

Ë5 ::^ iË. J S[£ rfR rfR

dv^ndl'^dti' ndl~ dt'

dv^ dt "^r<«*

Par conséquent

— sin (o' -f- » — 2t) sin* 0 y] »

^ = |m'rr'(i-^)8inY[cos(r'-r)-co8(e'4-p-2T)], f = 2m' TT- (i - i-,) sin > |r 8m (V+ r - 2t).

En mullipliantla première de ces relations par tangr y cos t,

la seconde par sin t et la troisième par -: — ; puis les ajoutant) on a

rfR . , cosTrfR , , 1 (dK . dK\

= w rr I -^ — -75 j cos t? sm (t? — t) sin y-

On a sembiablement, en -multipliant les mêmes relations par tang r y sin t, — cos x, -: — respectivement, et faisant la somme des produits*

dR , sinrrfR , , 1 . /dR . dR\

-rf?^^^^+siiïi;-5r+^^"»2^^^"H^+^)

= mrr {-^ rj j sin t? sin (t? — t) sm y i

équations dont les seconds membres^ abstraction faite du

théorie; t)ES INÉGALITÉS PÉRrÔrilQUES ^6?

signe, sont précisément les valeurs de t-' 3- ; ainsi

ap aq

cSl dK . cos T rfR , 1 /cm , ^\

■j- = — -r- sin T : -; tang â Y cos t 1 -3- + -p )»

dp dy sm Y û^T ® 2 * \ds ' diûj

dR dR , sinxrfR , . 1 . /c?R , dK\

dq dy ' sm Y c/t ' ° 2 * \rfe rfo)/

Pour exprimer-^» et -j^y on a donc

dp j;:, rem sinrcm , i . /û?R , dR\

-77= r -T-cosT— --T — 3~— tang-Y8inT(-7-+-;r-)>

dt cosipLaY sinY«T 2 - Vas ' aw/

dq 3f^ rdh \ . cosTC?R , , 1 /dR , dR\

-J= r -r-sinx-f--: 3-+ tang-Y^os T(-T-+-r-)-

rf/ cos^^/L^Y * sin Y c?T ' °2' \c?e ' d{ù/

Si Ton suppose maintenant que les longitudes soient comp* tées'de la commune intersection des deux orbites, auquel cas on doit faire t = 0 dans les résultats précédents, on obtient

Soit

d'où

ES, — ^ X dR dt cos •]/ dy

\dq ^ r i dR 1 /Ç[R , ^\"1

dt "'cos ^LsinY d'^ "^ ^"^l'^U^ "'"rfa>;J'

1 — cos Y = 2 sin* - Y = "n ;

sinY^Y^^-n» "rff^^'^^S;;"'

et posons

1 i — COS£.

° 2 ' sin Y

on peut encore écrire

dp 5t. • rfR

dl cos ^ * dri

c?^ "~ cos <|/ sin y Lcfr "•" ^ \rfe ''' rfo)/ J

C'est à cette forme remarquable des valeurs de p et de ç que nous nous arrêterons. Nous prendrons donc au lieu du système d'équations (1), le suivant:

da^dR d(ù X dR dt dt dt tang ^ de

de ^ . i + rfR-

^ = 0^cos^tang|-.

de ^ . . ^dR

-==^^cos^;tang|-^-

dp X . cm

% dR

tang ^ c^a>

dt

cos ij^ ' rf-ïj

cos 4; sm

[dR, /5[ft I Ë5M