II. — Variations finies pes éléments des orbites PLANÉTAmEs
Les formules précédentes expriment les variations différentielles des éléments de l'orbite elliptique, au moyen des dérivées partielles de la fonction R prises par rapport à ces éléments, et multipliées par des coefQcients indépendants du temps. Pour avoir les valeurs finies de ces variations, il suf-
fîra donc de substituer dans leurs expressions, à la place de R, la partie périodique de son développement, et de dîfférentîer par rapport à a, ^, e... les termes de ce développement qui dépendent de l'argument que Ton a à considérer. Par Tintégration, on en conclura alors très simplement les valeurs finies de ces variations, et ajoutant ces valeurs finies aux éléments mêmes de Vorbite elliptique, on aura celles qui conviennent au mouvement troublé ou a -f- 8à, e -{- te etc..
Considérons, par exemple, la variation différentielle du demi-grand axe, définie par Téquation
dt de
et soit
m'$ cos S
un terme quelconque du développement de R. Nous supposons ici pour abréger
© = (i7 — il) — X(o — XV — 2X^T.
Nous aurons
da
. = — 2aX$m'sinS, at
d'où par l'intégration
(5) 8a = — r-7 r ^cosS.
En procédant de la même manière à Tégard des autres variations différentielles, on trouverait pour les expressions
de leurs valeurs finies
A, X 4- 1 Ze = m'y^^ cos ^ tang ï ^ , '^ . cosS,
dt=z m^ \ co%^ tang î -; 2a^ ^- I -7-: — :- sin G,
W< tang 4 cfe în — m '
j^ , X sin Y <f$ 1
I80 = — m J -7- T-, :- sin G,
' . Tj cos ^ «71 i n — m
, 20;;$ X, + (,-+X)sin»|T
8ûr = — m -. : 7-7 : cos s.
^ sm Y cos ^ tn — tn
Relativement à la perturbation du moyen mouvement p, qui résulte, comme on sait, de la double intégration
elle a pour expression
(7) 8p = pr-T — ^^ sm (B,
Les formules qui précèdent sont générales. Si au lieu de m'$ cos S, on prenait
Il=g,*^'^cos^(r-/)
+ ^ ! - 2iô(') - ôjî,! e cos [i (^ ~ /) 4- Z - co]
-f. g-, {(2i - 4)6('+^)+6K7^ '! ^'cos [i(r- Z)+/-a>'],
on aurait pour la variation du demi-grand axe a, par exemple,
8a = — w'aX -r-^ h^^ cos iiV — h ' n — n \ '
- ffl'«.J^ ,(„>^i~ *!^ „ i(2t-l)6(^-^'+éffl| e'cos[.-(f-Q+r-a>'].
Les variations des autres éléments s'obtiendraient de la même manière. On a donc, par l'emploi des formules qui précèdent, un moyen fort simple de déterminer toutes les inégalités périodiques d'une planète, à quelque ordre qu'elles puissent appartenir relativement aux excentricités et aux inclinaisons. .
