III. — Variations périodiques et totales des coordonnées

HÉLIOCENTRIQUES

Les variations finies des éléments elliptiques de m étant déterminées, il nous reste k •montrer comment on peut en déduire celles des coordonnées héliocentriques r, v et s, qui fixent à chaque instant la position de la planète dans Tespace.

Il ne s'agira évidemment pour cela que d'introduire dans les formules du mouvement elliptique à la place de a, p, «, e, <o, les valeurs de ces éléments corrigées de leurs variations périodiques ou a -{- 5âf, 8 + 8p, etc.

Or, en considérant d'abord r et i? et posant

OD a

V = /-|- û^ sin î -j-aj sîn 2î + ûj sin 3Ç 4--" ' r = a (bo + b^ cos Ç + ba cos 2Ç -f b, cos 3Ç +)... ;

d*où Ton déduit, en négligeant les carrés des masses perturbatrices,

jcfoj .^ , da^ , «^ , rfttft

!8t? = 8e + 8p + [ a^ cos Ç + Sttj cos2Ç-(-3û3COs3Ç+--'l5e-f-8p — Sû>,

|8r = ib^j + b^ cosÇ + bj cos2Ç -j- bj cos3Ç -f-.-! 8a -f {b^sinÇ+2b,sin2i: + 3b8sin3i:+...la(8£-f8p — Sa>)

Les valeurs des coefficients aijCi,, a,.. , b^, b^, b^... ont été données au chapitre IV du livre I. En les substituant ainsi que leurs dérivées dans les formules précédentes (2) et (3), on aura donc très simplement les variations périodiques 8w et 8r, lorsque celles 8a, 8^, 8e, 8p et 8<i) auront été déterminées par remploi des formules du paragraphe qui précède (a).

(a) Ea se bornant, par exemple, aux termes en «^, on a par les formules (26) et (27) des pages 96 et 97.

Cl = 2c - 1 c« +... bo = 1 + I e«, bi = - « + I «» - ..•

Il nous reste à déterminer Is ou la variation de la latitude héliocentrique.

Soient, à cet effet, t le rayon vecteur de m projeté sur le plan fixe des xy ; V l'angle que fait cette projection avec Taxe des œ ; s la tangente de la latitude de m an-dessus du même plan ; .^ son inclinaison ; B la longitude de son nœud ascendant comptée sur ce plan.

On aura aux quantités près du second ordre par rapport aux inclinaisons

a? = t cos V, y = t sin t?, ^ = ts,

z = tang cp co^ By — tang <p sin Bœ=^ qy — pœ^

et par la différentiation relative à B, on déduira des deux

de 4 de de ^

de 2 6 *^^- de ^3

on a par suite

+ 1/2«— j«« ) cos Ç +|c2 C082C+ j €»co8 3 çj êf + a/) — 8w

«r=^l-|-^— 6C08Ç— ~co8 2Ç 8a

+ I « — 1 + 1 «^ C08 Ç — e cos 2 Ç — g « » cos 3 Ç ) a8c .

dernières relations * ...

Iz = tZs + stty Iz = yZq — xZp + qZy — p^œ,

c'est-à-dire

tts -f- «8t = yZq — a?8p -f- qly —r p8a?, . .

Supposons, comme nous l'avons fait précédemment, que Ton prenne pour plan fixe le plan de l'orbite de m à une époque déterminée : alors ^, p et ^ seront de l'ordre des masses perturbatriceâ et, en négligeant le carré de ces masses, on pourra écrire simplement

tls = yZq — œZp,

Mais les termes qui proviennent de la latitude étant de Tordre du produit des excentricités par les inclinaisons, quantités évidemment fort petites, on peut, dans le calcul de 8j, faire abstraction de l'excentricité de l'orbite, c'est-à-dire supposer cette orbite circulaire, ce qui donne

t =: a, X =z a cos /, y = a sin /.

Dès lors, on a pour calculer Is en fonction des variations tq et Sj> dont nous avons développé précédemment les expressions

(4) Zs = sin IZq — cos IZp,

Les formules (2), (3) et (4) que nous venons d'établir sont générales ; elles expriment les variations périodiques des trois coordonnées r, v, s en fonction des variations 8a, 8^, 8p, 8e,8pet89 des éléments de l'orbite elliptique, et peuvent ainsi

THÉORIE DES INÉGALITÉS PÉRIODIQUES 2(i9

servir au ca\c\i\deio\iies\esinégalités pértodiques que raction perturbatrice d'une planète quelconque m introduit dans le mouvement d'une autre planète m. En les ajoutant aux valeurs de r„ Vs, s, calculées dans Torbite elliptique, mais dont les éléments a«, e„ p«,ont été préalablement corrigés de leurs variations séculaires, on aura les variations totales de ces éléments, ou la somme de tous les effets dus à l'action des forces perturbatrices. En désignant par [r], [i?], [s] ces valeurs complètes, on aura donc

[r] = r, -f 8r, [v] = v, + 81?, [s] =s.-\- ts.

I — COMMENSURA^IUTÉ APPROCHÉE DES MOYENS MOUVEMENTS

Considérons un terme quelconque

fl

(a) f^^^ (tn't — int4-Xi

^ ' ^ cos ^ * '

du développement de R. La variation différentielle d'un élément a de Torbite elliptique sera représentée, en général, par l'expression .

dd, =, m"9'in sîn {i'rit — int -[- ^) c?^

O' étant un coeflîcient de même nature que », et l'on aura • pour la variation finie de cet élément

rfa = T-y r- cos (int — en^ + 51).

in — m ' '

Or, comme l'intégration fait passer en diviseur la quantité i'rC — m, on\oitque les termes de la forme (o), quoique généralement forts petits, presque insensibles lorsqu'on s'élève aux carrés et aux puissances supérieures des excentricités et des

inclinaisons, pourront cependant, après leur substitution dans les expressions différentielles des éléments elliptiques et leur intégration, acquérir des valeurs considérables et prendre des périodes dont Tamplitude dépendra, en général, du rapport de commensurabilité qui existe entre les moyens mouvements nt et nt. Si ces moyens mouvements s'éloignent beaucoup d'être commensu râbles entre eux ou si la différence in — in est très grande, l'argument prendra des accroissements rapides, la période de l'inégalité sera de peu de durée et sa grandeur dépendra uniquemenl de Tordre auquel elle appartient relativement aux excentricités et aux inclinaisons. Si, au contraire, i'n' — in est une très petite quantité, ce qui arrivera toutes les fois qu'un rapport de commensurabilité existera entre les moyens mouvements n't et nt^ l'argument du terme dont il s'agit sera très petit, son accroissement fort lent, et l'inégalité correspondante aura une durée très longue. On a donné à ces inégalités le nom 6! inégalités à longues périodes ; et Ton peut voir chapitre III, livre u, toutes choses égales d'ailleurs, que les plus considérables seront d'abord celles du moyen mouvement p, à raison du très petit diviseur [i'n' — in)^ que la double intégration introduit dans la variation finie de cet élément, et ensuite celles qui proviennent de Texcentricité et de

la longitude du périhélie, à cause des termes -y dtei--T-dt

que leurs expressions renferment, termes qui ayant l'excentricité e en diviseur, abaissent respectivement d'une unité et de deux unités l'ordre de chaque terme de R. C'est aux inégalités de cette espèce qu'on doit attribuer les grandes irrégularités observées dans le mouvement des planètes Jupiter et Saturne, irrégularités dont on avait vainement cherché

la cause avant Laplace. On reconnaît, en effet, en comparant

^ ]es moyens mouvements nt et nt de ces deux planètes, que

l'excès de cinq fois le moyen mouvement de Saturne sur deux

fois le moyen mouvement de Jupiter est à très peu près le —

de n, circonstance qui rend très petite la quantité 5n' — 2n et qui peut, par suite, rendre considérables les inégalités dépendantes de cet angle, bien que ces inégalités soient au moins du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. C'est ce que Laplace a reconnu le premier. Ce grand géomètre a prouvé en effet que le moyen mouvement de Saturne était soumis à une grande inégalité de 8896" centésimales, dépendante de Tangle on' — 2n et dont la période est de neuf cent vingt-neuf ans environ ; qu'upe inégalité correspondante et de même durée existait dans la théorie de Jupiter, et qu'enQn les coefûcients de ces inégalités étaient de signes contraires, en sorte que le moyen mouvement de Jupiter s'accélère lorsque celui de Saturne se ralentit, et réciproquement. En 1790, ces moyens mouvements étaient égaux, mais depuis cette époque, c'est le mouvement de Jupiter qui se ralentit et celui de Saturne qui s'accélère.

II — Réduction des termes d'une inégalité a longue période