RELATIVE A UN ARGUMENT DÉTERMINÉ
Supposons que les différents termes d'une inégalité à longue période dépendante d'un argument donne iV— m soient
décomposés en sinus et en cosinus de cet angle, et mis sous la forme
(1) 2 M'-' ^^^ ^'^' "" *'^) + 2^'' sî" (^"^ — *'0'
conformément à la notation du chapitre III, livre III.
Si l'on veut réduire les divers termes qui composent cette expression en un seul #
(2) 1» sin [xt — il + 51),
il suffira de poser
tang 51 = ^,
ï» et 51 étant, comme M/»/ et N^ dont ils dépendent, des fonctions des éléments des orbites.
Car, si Ton développe l'expression (2) et qu'on compare ensuite les coefficients de cos (i7' — il) et de sin [i't — il) avec ceux semblables de la somme (1), il est clair qu'on aura
(4) MiV := y sin 51, N^ = |) cos 51,
relations qui renferment celles (3).
m. — Transformation des angles cp et ô
Dans le calcul des perturbations planétaires, on a souvent besoin de déduire, des valeurs de cp et de 0 qui fixent la position de l'orbite de m par rapport à l'écliptique, celles y et t des
ASTaO.XOMIB THâORIQUB. 18
mêmes éléments rapportés au plan de Torbitede m'. Soient pour cela flg i.
YErécliptique;
Nw l'orbite de m;
N W l'orbite de w';
N,N' les nœuds ascendants de ces orbites;
B et B' les longitudes YN et YN ' des nœuds N et N ' ;
Fig. 1.
f et cp' les inclinaisons respectives des orbites de m et de m sur l'écliptique.
N'' sera le nœud ascendant de Torbite de m par rapport à celle de m', et Ton aura
T = YN + NN", t' = YN' + N'N^
Posons dans le triangle N'NN"
NN''=:a = T— e, N'N =6 = 0 — ô', N'N"=:c=t' — 6'
et
alors par les formules connues
sîn a sin 6 . ^ . ai.* r. r
-. — r = -: — Tî sm B cos a = sin C cos A + sin A cob C cos ft, sm A sin B ' '
on en déduira
sin Y sin (f — ^) = sin <p' sin (0 — O'), sin Y cos (t — 0) == sin (p cos (p' — sin cp' cos (p cos (0 — ôQ»
Maintenant si Ton développe dans les premiers membres de ces équations sin (t — ô), cos (t — 6), puis qu'on tire les valeurs de sin y sin t et de sin y cos t, et qu'enfin on pose
p =z tang (p sin 6, , q = tang ^ cos 6, p' = tang (p' sin 6', q' = tang tp' cos 6',
on obtiendra, après quelques réductions faciles,
■^sinT=i) — p'+a sin'l^^^ sin (e - d^cosô,
j COStpCOS^ -r x- I 2 COS <p ^ ' ,
"" T ,cosT=g-g'-28in»|^g^8in(e-(>>în9.
C08(pC0S(p ' ^ 2 COS<p ^ '
Dans le cas où (p et (p' sont de très petits arcs, on peut écrire
j sin Y sin T = p — p\ I sin Y cos T = g — q\
Ces équations déterminent Tinclinaison mutuelle y ^^^ orbites et la longitude t du nœud ascendant de m sur m'. On obtiendrait celles qui font connaître la longitude t' du nœud
sm
ascendant de m' sur m, en changeant simplement dans les précédentes T, p, q, cp, 6 en t', p', q\ <p', 6' ou inversement, et remarquant que sin y prend dans ce cas un signe contraire.
