IV. — Relation qui lie entre elles les inégalités a longue

PÉRIODE DE DEUX PLANÈTES m ET m! SOUMISES A LEUR ACTION MUTUELLE.

Les inégalités correspondantes des moyens mouvements de deux planètes m et m\ soumises à leur action mutuelle, sont liées entre elles par une relation analogue à celle qui a lieu en général pour les inégalités séculaires, c'est-à-dire que Ton a, en ne considérant que les termes du premier ordre par rapport aux masses,

m V^â 8p -|- mVa'Bp' = o.

Pour démontrer cette importante relation, soient :

a?, y, z les coordonnées de la planète troublée ; oc\ y'j 2, celles de la planète troublante ; ^ et y des différentielles prises respectivement par rapport aux coordonnées de m et de m ;

et posons

P = \/[oo' - x)^ + (y ^ yY H- [z' ^ z]K On aura

SR = m' h (i) - "''^ + y'^y + ^'^^],

y^ = m fy (i) - EËïlij^^lif^l.

Ajoutant membre à membre ces deux équations, après les avoir multipliées respectivement par

(M -|- in!)m = [x'm, et (M -f- m)m' = (xm, on trouvera

(A) =.--[Hp) ^V^- J

/ I /f^'/lX asdco' 4- ydy 4- zdz'~\ \ +i^^^l^[-) ^ H J-

Mais, d'après les formules du mouvement elliptique, on a

ûG^ d^œ y (Py z â?z

r^""^ dl*' r3 ~" ~" dl\' r^ "" "^ 17?'

r'3 — "" cW' ' r 5 "~ "■ dt^ ' r'3 "" "" "rf^ '

substituant, on aura donc mm + mVR ' = mm'rf p^^' + ^^y' + ^^rf^' + ij,

et en intégrant

Maintenant, si Ton se borne à considérer dans les deux, membres de cette équation les termes qui, dépendant de l'argument i'nt — int ont pour diviseur in! — in (a), il est clair que le second membre de Téquation précédente ne renfermera aucun terme de cette espèce, tant que Ton n'aura égard qu'aux carrés et aux produits des masses m et m\ En ne considérant donc que les termes de cet ordre dans la valeur de (B), on aura à très peu près

et, par une seconde intégration, on en conclura

c'est-à-dire, en mettant pour n et n leurs valeurs -j et — »

m y/âZf -f" myJa'Zp = o, équation d'oi\ l'on tire

Ainsi les inégalités Sp et 8p' dépendantes de la première

(a) Ces termes sont en effet les seuls qui puissent acquérir, par une seconde intégration, le carré de i'n' — in dans les valeurs de fy et de Bp\ et, par là, devenir sensibles.

puissance des forces perturbatrices, sont entre elles dans le rapport de m' V« à — m \[a. Lors donc qu'on aura calculé les inégalités de p qui ont {{n — iw)* pour diviseur, on en conclura celles correspondantes de p'qui ont le même diviseur, en

multipliant les premières par j^-