FONCTION R

La délermination des termes d'une inégalité àlongue période repose sur une suite d'opérations numériques qui sont d'autant plus longues et compliquées que Tordre de Tinégalilé est plus élevé. Nousallons indiquer ici les principales de ces opérations en prenant pour exemple le cas de Goncordia troublé par Jupiter, cas très remarquable à cause du rapport de commensurabilité approchée qui existe entre les moyens mouvements de ces corps. En comparant les valeurs de n et de w', on reconnaît, en effet, que l'excès de huit fois le moyen mouvement de Jupiter, moins trois fois celui de Goncordia est à

fort peu près le— de n\ circonstance qui rend très petite la

quantité 8n' — 3n (2110'' environ) et qui peut, par suite, rendre considérables les inégalités dépendantes de cet angle, surtout celles du moyen mouvement, à cause de la grandeur

CALCUL d'une LNÉGALITÉ A LONGUE PÉRIODE 281

du coefficient

qui affecte son expression.

Pour en déterminer les termes principaux, supposons que m se rapporte à Concordia, m! à Jupiter et soient a, e, w, (p, 0, e ; a', e', a>', (p', 6', s', les autres éléments de leurs orbites elliptiques, ces quantités ayanl la signification que nous leur connaissons. Appelons y l'inclinaison mutuelle des orbites, laquelle, à Tépoque que nous adoptons, a pour valeur 4". 34', 2'^ (a); et soit t la longitude du nœud de l'orbite de m rapportée au plan de l'orbite de m'. Posons en outre

l—nt-^-t, i = ni -j- e'.

D'après les remarques que nous avons présentées, pages 182 et suivantes, on sait que les inégalités de l'espèce de celle que nous considérons sont au moins du cinquième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Nous aurons donc tout d'abord à développer, jusqu'aux termes de cet ordre, la fonction R qui exprime l'action réciproque des deux planètes (6). Or, en 8*aidant pour cela des formules générales que l'on trouve au livre VI de la Théorie analytique du système du

(a) La peUtesse de cette incliDaisoo, juinle à celle de l'excenlricité de Concordia, permet d'appliquer ici au calcul de la fuaclion R, la môlhode que nous avons développée au chapi're I du livre III. En effet, dans les limites où y, e et e' sont donnés, la série qui représente R est rapidement convergente.

(6) Les termes suivants seraient de Tordre Si' — 3/ + 2, 8i' — 3/ + 4, etc., c'est-à'dlre du septième, du neuvième ordre, etc. Nous ne roiisidérons dans celte appliculion que les termes de Perdre le moins élevé parce que ce sont eus qui, dans l'expression du moyen mouvement, fournissent la parties principale de rinégalitô.

monde, il n'est pas difficile de voir qu'on aura dans le cas qui nous occupe

R = M<»' e» cos (Sr — 3/ — 5o)) + M(*' e*é cos (8r — 3Z — -k» — w') -f. M(*) e»e'» cos (Sr — 3? — 3o) — Su') + M(») e»e'» cos (8? — 3f — 2« — 3»') 4- MW eé* cos (Sr — 3Z — « - iw') + MW c» cos (Sr — 3Z — Su.')

+ NW c» sin» I cos (8? — 3^ — 3o) — 2t) +N«' e»c'» sin» | cos (8? — 3/ — 2» — «' — 2t) + N(»' e«'» sin» \ cos (8? — 3^ — « - 2o)' — 2t) -f N^8J e » sin« I cos (Sr — 3Z — 3a)' — 2t) + N(*) e sin* | cos (8/' — 3/ — co — 4t) + Nt») e' sin* I cos (Sr — 3/ — w' — 4t).

M^% M<<)..., et N(0), N(«).,. sont des coefficients fonctions des éléments des orbites; et, si après avoir posé

R = K sin (%r — 30 + K' cos (8? — 3/)

on compare cette seconde forme de R avec la première, on en conclura^ pour la variation du moyen mouvement de Concordia ou pour la valeur de 8p,

8p = przf^, [K' sin(8r - 3^ - K cos (8/ - 3i)]

CALCUL d'une inégalité A LONGUE PÉRIODE 283

expression dans laquelle on a

a'm'K'=-^ [129168*'") + 7006ô,'fi + 14220ô,'|j -f- 13500^11 -f 60 615', + *gi] e» cos 5 a>.

— ^ [1452156(''-|- 78993 blJ\+ 45858 *(îl+ 1470 bH]

+ 63 friî'i + ôi^Q e*e' cos (4o> + «') 4- ^ [162408 U*i 4- 88848 J,'fî + 17754 b[\\

+ 1597 ftlJ'i 4- 66 m\ 4- *(•{] e»e'* cos (3» 4- 2«')

— ^ [180150 *w + 99594 b{\\ -{- 19607 éf|j

+ 1731 b{%\ 4- 69 6|î{ H- 6§0 e'e'» cos (w -}- 4a)') 4- ^ [197184 6(^)4-111120 b\\\ 4- 21728 b[i]