PAR RAPPORT AUX FORCES PERTURBATRICES

Nous avons développé dans le livre lY les inégalités dépendantes de la première puissance des forces perturbatrices. Il nous reste à considérer maintenant les inégalités dépendantes de la seconde puissance de ces forces, inégalités qui sont surtout rendues sensibles par les très petits arguments que leurs expressions renferment en diviseur, et que Tintégration leur fait acquérir.

Les considérations à Taide desquelles on passe des termes du premier ordre à ceux du second ordre, et généralement des termes de l'ordre n — là ceux de l'ordre n, sont les suivantes :

Concevons chacun des éléments qui entrent dans la fonction R, comme décomposés en deux parties : l'une constante à l'époque que l'on considère, et l'autre variable et de l'ordre des forces perturbatrices. Alors les éléments de l'orbite trou-

blée au lieu d'être représentés, comme dans la première approximation, par a, e, e, (û, p, q; a\ e'..,, 9', pourront s'écrire

a + Sa, e-|-8ô, e + 8e q-^-^q^

a'+la\ ô'-f-8e', 6' + 8s' ^'+8^',

et Itty le... Ici, lé,., exprimeront ici les seules variables de la question.

Or, si Ton fait la substitution des valeurs ci-dessus dans R, puis qu'on développe suivant les puissances et les produits des quantités 8a, 8e,... 8a', lé., cette fonction deviendra

R„ = R -f 8R + 8>R + 88R -[- ... etc. ;

et comme R est déjà du premier ordre par rapport aux matsses, on voit que le développement général de R„ ordonné suivant les puissances des masses, se composera des termes suivants:

Termes du deuxième ordre par rapport aux masses. ,srx d^ -, , 8R ^ , SR -, , , 8R -,

Termes du troisième ordre par rapport aux masses

Termes du qiuntrième ordre par rapport aux masses. H û?3R d^R ^ ^ , , , c?3R . ,• , ).

Î9â LIVRE V — CHAWTRE I

et ainsi de suite pour les termes des ordres suivants. En substituant donc dans R^ à la place de ha, Ze,. Za\ Se'... leurs valeurs, à mesure qu'elles seront fournies par les approximations successives, on obtiendra la valeur exacte de cette fonction, jusqu'à tel ordre de termes que Ton aura voulu considérer.