CHAPITRE II

De la g^rande inégalité de Jupiter et de Saturne — Détermination des ternies de la g^rande inég^alité qui sont du second ordre par rapport aux niasses.

I. — Combinaisons des divers arguments dans lesquels peut SE décomposer l'angle 5n ' — 2w.

Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à la détermination analytique des termes du second ordre qui dépendent de l'argument 5n7 — 2w^de la grande inégalité de Jupiter et de Saturne, termes qui sont surtout sensibles dans les valeurs de 8p et 8p', a cause du très petit diviseur |5n' —- 2nf que l'intégration leur fait acquérir.

Dans ce calcul, nous pourrons regarder R soit comme une fonction donnée des coordonnées r, r, 5, r', v', «' de la planète troublée et de la planète perturbatrice, soit comme une quantité dépendante des éléments elliptiques a, e, s,.. a\ e\ s! de ces corps. Si dans le premier cas on pose

^-, dR. , cm ^ i dR^ . dR ^, , dR . , , dR ^ ,

dr ~ dv ^ ds ^ dr' ~ dv' ' ds*

dR\ , ^'. X dR\ , dR\ , . dR\ , , rfR'

dr ^ dv * cfe ^ dr ^ dv ^ ds

il est clair qu'il faudra, pour obtenir les inégalités dont nous parlons, combiner entre eux les différents termes des facteurs—et Br? — et dr etc. qui composent les expressions de

BR et BR', de manière que la somme ou la différence des arguments dont ils dépendent soit toujours égale à 5n' — an ; il faudra de plus que la somme des exposants des excentricités et des inclinaisons, dans les termes considérés, ne surpassent pas trois. Or, si l'on désigne par ^t et p't respectivement, les arguments des termes de la fonction perturbatrice et des inégalités Ir^ Bt7, etc, il n*est pas difficile de voir que les combi* naisons de p et p' qui satisferont aux conditions énoncées seront les suivantes :

Combinaisons résultant de Vaddition des arguments p et p'

p = 0, ^ zrin' --n. p = 2»' — 2n,

Combinaisons résultant de la soustraction des arçuTnents^et p

p=7n'— 4n, p =7n' — 5n, p =ln' - 6n, p =:7n'— 7n;

Ces diverses combinaisons sont doubles parce qu'on peut y permuter entre elles les lettres p et p'. Relativement aux combinaisons qui satisfont à la condition p — p' = 5«' — 2n, comme le nombre en est illimité, on ne peut pas espérer d'avoir

toutes les inégalités qui en résultent et l'on doit se borner à calculer les plus considérables. En général, ce sont celles dont les arguments renferment les plus petits multiples des moyens mouvements ntein't. Nous disons: en général, car il parait bien difficile de discerner dans le nombre infini de ces inéga« lités, celles dont les valeurs sont sensibles et celles qui, au contraire, demeureront toujours inappréciables. Tout Tart du calculateur consiste à faire cette distinction et elle exige beaucoup de tact et d'habileté.