II. — Expressions analytiques des valeurs de 8p et 8p' qui

RÉSULTENT DE LA COMBINAISON PAR VOIE D' ADDITION DES ARGU- MENTS pt ET ft.

Pour donner un exemple du calcul des termes du second ordre dont les arguments ^f et pU satisfont à la condition p 4" P' = 5 n' — 2n, nous considérerons le cas de p = o et p' = 5n' — 2n, et nous nous proposerons, en premier lieu, de déterminer les inégalités résultant de la combinaison des termes de R qui dépendent de l'argument o, avec ceux de Zr et 8r' qui ont pour argument 5n't — 2n^

Les valeurs de p et de p' relatives à Jupiter et h Saturne et qui dépendent du carré de la force perturbatrice étant exprimées par

l 8p = — 3dn Jdtf^iZK + Sa^nfdljhRj^R j 8p' = ^3aV r^i ry8R'+3aVy'rf/y' l'Y^p'YC

on aura, en ne considérant d*abord que les premiers termes

de ces formules

8p = - 3anfdtp [f 8r + + f rf,' + ].

8p' =^ - Zan'fdtfy[^ dr + +§;' dr + ],

expressions dans lesquelles les caractéristiques d et d' se rap* portent aux coordonnées de m et de m respectivement, et où a^ n, a\ n ... ont les significations que nous leur connaissons. Or, si en n'ayant égard qu'à la partie non périodique de R on pose

dans le cas de Jupiter troublé par Saturne, et

z dans celui de Saturne troublé par Jupiter, on aura

■d*où en différentiant la première de ces valeurs par rapport à 8r sans faire varier 8r', et la seconde par rapport à Br' en y regardant Zr comme constant

dt '^ 2 fia dt '

m' m dk^ rf8R dt '^ % da' dt'

Soit 4> = Sr — 2/, et prenons pour les parties de 8r et de Zr' qui dépendent de Tangle 5n7 — 2nt \

| = GC08(* + p), I

d'où

dt

^=G'cos{<b+g'),

— a (5n' — 2n) G sin (* + ^),

dl il en résultera

^ = - fl' (5«' - 2«) G' sin (* + gy,

. = aa' I5n' - 2n) -^ G sin(* + g),

-^ = -^û» (5n - 2n)-^G 8in(e+^').

ety par suite, on aura [a)

8p=: — 3anJ û?^ — = C Y^wr (5n — 2n)-^Gsin(*-f-(7), 8p'==-3aVjeft^=G'|a'»(5n'-2n)^^G'8in^

avec

p 3wn' p. San ^ o^

(a) Bien que multipliées par Sn' — 2n, ces expressions de tp et do S/s'n^en août pas moins de l^ordre des termes que nous considérons ; car G et G' renfermant implicitement le diviseur 5n' — '^jn, les valeurs de C et de G' subsistent évidemment sans modification.

Combinaison inverse de la précédente

Proposons-nous actuellement de déterminer les valeurs de Sp et de 8p' qui se rapportent à la combinaison des termes de R dépendant de l'argument 5n' — 2n, avec ceux de 8r et de 8r' qui sont relatifs à l'argument zéro. Soient

R = 7/i'N sin ^ -f- mK cos *, R'= 7;iN sin<ï> + wN' cos^,

d'où

8R=m(^8r+^8r)sm*+,n(-8r+^ar')cos<^.

En désignant par G et G' les parties constantes de — et — r ^

et posant 8r = aG, 8r' = a'G',

on aura après avoir diHerentié les expressions précédentes de 8R et de 8R', la première par rapport à ni en regardant nt comme constant, et la seconde par rapport à rit considéré comme seule variable.

a^8R dt

dt

= - 2m'n La' ^ G + a'^ g, ff) cos * + 2-n(-'f^G4-a-fG')sin*,

— 5mw ( aa -^ G + a ^ ^ G \ sin 4»t

expressions d'où Ton peut conclure, à cause de la relation très approchée 5n' = 2/i,

D8R^ mn ^SR dt m n di

c'est-à-dire

Quant à la valeur de 8p qu'il faut connaître pour déterminer 8p', elle est égale à

C ayant pour valeur

Calcul des seconds termes des valeurs de 8p et de 8p'.

Considérons maintenant les inégsilités de 8p et de 8p' qui résultent du développement des termes

^aH J dtf[dRf^R]j Za'H' J dt\ J[b'K J -è'K]*

En posant comme précédemment

R = m'N sin <t + ^ N' cos <t, on aura

— = — 2m'nN cos 4> + 2m'nN' sin *,

K étant une constante introduite par Tintégration.

On aura par suite en n'ayant égard qu*aax termes qui, dépendant de l'argument 5n'^ — 2n^, sont seulement du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons,

/ rf^ / [.m / ?R] = (I^JN cos * - N- sin *],

expression qu'il faudra multiplier par 3a^n, si Ton veut avoir la valeur correspondante du second terme de 8p.

On obtiendrait de la même manière Tinégalité qui se rapporte au second terme de 8p' , et joignant cette inégalité aux trois autres, on aurait les valeurs complètes de 8p et de Sp' relatives à la combinaison p = oetp' = Sn' — an que nous venons de considérer.

Relativement aux autres combinaisons, on peut remarquer qu'il est inutile, dans le calcul des inégalités qui en résultent, d'avoir égard aux seconds termes des formules (A). Car, pour toutes les combinaisons dont Tun des arguments p ou p' ne

renferme pas nt^ on a ^R = o, et, par suite, ^R T^R = o ; et

pour toutes celles dont les arguments dépendent de cet angle, il est aisé de vérifier que la double intégrale

fdtf\}^Rfm]

acquiert le diviseur (on — 2n)2en même temps qu'elle acquiert le multiplicateur 5n' — 2n. Dans le calcul des valeurs de 8p

et de Bp^ relatives à toutes les combinaisons autres que celles p = 0 et p' = 6n' — 2w, on pourra donc s'en tenir aux premiepa termes de ces exppessiojiJ^,<c'est-à-<lire.pr-endF€L

Sp = — Sanfdtf^^ZR, 8p' = — M'ri Jdt J^IVC-