CHAPITRE IV

Des condltious qui assurent la stabilité du système du monde

I. — InVARIABIUTÉ DBS GRANDS AXES DES ORBITES PLANKTAIHES EN AYANT ÉGARD AU CARRÉ DES FORCES PERTURBATRICES

La stabilité du système du monde repose sur les deux conditions suivantes. Il faut 1^ que les grands axes des orbites planétaires soient invariables, et 2^ que les variations séculaires de leurs excentricités et de leurs inclinaisons soient toujours renfermées dans d'étroites limites.

En traitant des inégalités séculaires, nous avons déjà reconnu que le grand axe de Torbite troublée restait invariable ou du moins que ses variations n'étaient que périodiques, tant que Ton n'avait pas égard aux puissances des masses supérieures à la seconde. Nous allons maintenant reprendre cette importante proposition, et l'étendre au cas où Ton considère les carrés et les produits des masses perturbatrices ; nous démontrerons ensuite que les excentricités et les inclinaisons ne sauraient croître indéfiniment, quelque loin que l'on pousse les approximations par rapport à ces quantités, môme en ayant égard au carré des masses pertubatrices, ce qui achèvera de

compléter la démonstration que nous avons en vue touchant le grand principe de la stabilité du système du monde.

Pour démontrer que la première des conditions ci-dessus se trouve remplie lorsqu'on pousse l'approximation jusqu'aux termes du second ordre par rapport aux masses, reprenons la formule {a) de la page 295, savoir :

8a = 2a^ [^R + ^8R] -f Sa^ /"fm ^^rI»

et examinons successivement les différents termes dont se compose cette formule, afin de nous assurer qu'aucun d'eux ne peut renfermer des termes non périodiques ou séculaires.

Il est d'abord évident que la fonction <)R y^R ne peut

contenir aucun terme de celte espèce ; car en représentant par m'y cos(tVi — int + 5l) un terme quelconque du développement de R, la valeur de 8a correspondante fournit, comme nous Tavons déjà reconnu, une inégalité dépendante du sinus du double de l'argument [fnt — int -}- -SV), et, par conséquent, périodique. Voyons donc si les deux autres termes ^R et <)8R peuvent en contenir.

Le premier terme 8R est celui qui se présente dans la première approximation, et nous avons démontré qu'il ne contenait aucun terme non périodique. Si donc des termes de cette espèce peuvent exister dans 8a, ils ne pourront provenir que de d8R ou de la partie semblable ^Z'R relative à 7n\ Gonsidé* rons d'abord la première de ces fonctions, c'est-à-dire c>8R. En supposant