INVARIABILITÉ DES GRANDS AXES

et pour que, dans la différenlielle de cette fonction prise par rapport à la caractéristique <), il puisse entrer des termes autres que ceux périodiques, il faut combiner ensemble les termes de ^' et V^', tels que

P cos {i'nt — ^n^-[- 51), y'cos [in't — int + J3l')»

c'est-à-dire dépendant du même argument i'n' — in. Il n'est pas difficile de voir alors que 7i {■^' C'<,>'dt — V)' C-^ydt)se

réduit à zéro après les deux intégrations; d'où il suit que

— 8R' ne peut contenir que des termes périodiques. Ainsi Ton

est ramené à prendre simplement

Or, en se rappelant que |x=:M-|-^j on a parles équations (G) de la page 44

, X ' m' d^x mm' x ^^m^ dR

^H^—F*^"" M r^'^Mdx'

, cc m' d^x* m"^ x' j^ rn! c?R'.

on a des expressions semblables pour les autres coordonnées y, z et y\ z de m et de w'. On déduit aisément de là que

m'{ d\ {xdx' — xdx) -\-{ydy — ydy)^(zdz' — zdz) \ "| j^ ^ G étant une fonclion en a?, y, z, x\ y\ z' de Tordre du carré

ASTRONOMIE THÉORIQUE. 2t

des mtisses m et m', fonction qui est déterminée par l'équation

- ni^ Ixx -f- yy' -j- zz'\ m'm (xx -\- y y' -}- zz"\

, m' /dK rfR' , ,da dK , .dR dR\

■^-Â\d^-''i9^y Ty-y-d^-+'' Tz-'-d^r

Maintenant si, en n'ayant égard qir«iu premier terme de l'expression ci-dessus de R, on pose

^ ?ÎL ^ i 0? {xdœ' — x'dx -f- ydy' — y'dy -\- zdz* — z'ds) J

M ( dt )

il n'est pas difficile de s'assurer que cette fonction ne renfermera aucun terme non périodique. Car a?, y, z ne renfermant que des termes périodiques dépendant de nt, et x\ y\ z' des termes périodiques dépendant de rît, il est impossible que les produits tels que xdx\ xdx^ ydy\ y'dy, etc., renferment des termes dans lesquels les angles nt et n't se détruisent,

m' comme il le faudrait pour que la fonction — ^ (...} pût renfermer des termes non périodiques. Donc cette fonction est bien périodique. Et quant au second terme c)6 auquel se réduit maintenant l'expression de î»R, il est aisé de prouver que ce terme est de môme nature que le premier, c'est-à-dire périodique. En effet, G étant du second ordre par rapport aux masses m et m\ il suffît de substituer dans cette fonction à la place des coordonnées de ces planètes leurs valeurs elliptiques : alors les deux premiers termes de l'expression de G deviennent

m'^/xd^x -\- yd^y -j- zd^z\.mm fx'd^œ -j- y'd^y -{- zd^z\ — "m"V (M + m) dt^ /"^ M V (M + m) dt^ J