II^VARIABILITÉ DES GRANDS AXES

quantité qui ne saurait renfermer de termes non périodiques, puisque les produits xd?x\ yd^y\ a7'c?*a?, etc., n'en renferment pas eux-mêmes. Quant au terme

m!( dK dK.,dK ^' , -^ dK\

qu'il nous reste à considérer, il est facile de prouver qu'il ne contiendra pas non plus de termes de cette espèce ; car les

dérivées -r-» -j-' -r- étant supposées développées en une suite

de sinus et de cosinus des multiples de ni et de n% ces dérivées ne contiendront que des termes dépendant de ni; de

rfR' dVC rfR' même que -7-7» ^-t' --t-, ne renfermeront que des termes dépendant de r^t. Gomme d'ailleurs x\ y\ z' ne renferment que des termes périodiques dépendant de rît, et x, y, z des termes semblables dépendant de nt^ il est impossible que les moyens mouvements nt et n't disparaissent dans les produits

, , ,dK ,dK , c?R . ., , r ,•

tels que x — > y — — > z —1 et, par suite, que la fonction

considérée renferme des termes autres que ceux périodiques Donc enfin "èh'R est bien une fonction périodique.

La démonstration qui précède pouvant s'étendre à un nombre quelconque de planètes perturbatrices et a étant lié à

n par la relation n=: a ^, on voit que les moyens mouvements et les grands axes des planètes sont invariables lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques, et quon néglige les quantités du troisième ordre par rapport aux forces perturbatrices, résultat très important, puisqu'il assure, relativement aux grands axes, la stabilité du système planétaire.

IL — Limites des variations séculaires des excentricités et

DES INCLINAISONS EN AYANT ÉGARD AU CARRÉ DE LA FORCE PER- TURBATRICE ET A TOUTES LES PUISSANCES DE CES QUANTITÉS.

Il nous resle maintenant à prouver que quelque loin qu'on pousse les approximations par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, et en ayant même égard au carré de la force perturbatrice, les variations séculaires de ces éléments seront toujours renfermées dans d'étroites limites.

Reprenons pour cela les trois intégrales qui renferment le principe de la conservation des aires et que nous avons établies à la page 47. En négligeant les masses des planètes vis-à-vis de celle M du Soleil, la première de ces équations i

étendue à un nombre quelconque de corps m, m', m" I

pourra s'écrire ainsi : I

Soit 9 l'inclinaison de l'orbite mobile de m sur le plan des xy; on aura

ydx — xdy = — y^a (1 — «*) cos fj^di et, par suite, l'expression ci-dessus deviendra

Or, si Ton néglige les quantités périodiques ainsi que celles