LIMITES DES VARIATIONS SÉCULAIRES, ETC

qol sont du quatrième ordre par rapport ann masses, il est aisé de s'assurer que le second membre de celte équation restera constant. En effet, un produit tel que ydœ\ par exemple, ne saurait contenir des termes non périodiques quand on y substitue pour y et cte' leurs valeurs elliptiques ; car la valeur de y ne contenant que des termes périodiques dépendant de «7, tandis que la valeur de dai ne renferme que des termes périodiques dépendant de nt, il est impossible que les moyens mouvements ntein't se détruisent dans le produit ydaf. Les termes non périodiques que ce produit peut contenir seront donc du second ordre, et comme ils sont fonctions des éléments elliptiques de m et de m% leur variation sera du second ordre ; d'où il suit que la variation de mm'ydx' sera du quatrième ordre et qu'on pourra la regarder comme constante. La même cbose pouvant se dire des autres produits xdy\ y'dx, x'dy, et de ceux semblables relatifs aux coordonnées de m", m"\,,f on voit que le second membre de l'équation précédente reste constant lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques et qu'on néglige les quantités du quatrième ordre par rapport aux masses. Quant au premier membre de la même équation, il restera constant aussi; car si l'on substitue à la place des éléments elliptiques que ce membre renferme la partie périodique de leurs valeurs, les termes non périodiques qui en résulteront seront du troisième ordre par rapport aux masses et leurs variations du quatrième. Donc encore, ces termes pourront être regardés comme constants lorsqu'on néglige les quantités de Tordre w*. Ainsi on aura

(I) . ^m >Ja (1 — e^) cos(p = C.

On obtiendrait pareillement en considérant les deux dernières intégrales de la page 47

V m V« (i — e^) sin (p cosô^C^, Vm sja (1 — e^) sin «p sin 6 = Cg,

équations qui, étant exactes aux quantités près du quatrième ordre, subsisteront non seulement entre les inégalités séculaires du premier ordre, mais encore entre toutes celles qui dépendent du carré des forces perturbatrices.

Maintenant, si pour simplifîer on ne considère que raction réciproque des deux planètes m et m\ et que, désignant par S rinclinaison mutuelle de leurs orbites, on pose

cos 8 •= cos (p cos <p' -|- sin «p sin <p' cos (6' — 6),

on aura, en ajoutant ensemble les trois équations précédentes

(1), (2), (3), après les avoir élevées au carré,

-[- 2mw' \]a [\ — e^) s/ a' (1 — e'*) cos 8 = const. ,

ou bien, en faisant passer dans le second membre tous les termes constants et changeant les signes,

(4) m'ae2-|-.w'^«V*— 2mwVa'*wnVi— e'Vi— «'* cosB = const. Mais on a

1 4- Vi — e«

Vl — e'» = 1 —

{^yj{^ e2

cos 8 = 1 —

* + cos$'