LIMITE DES VARIATIONS SÉCULAIRES, ETC

Substituant ces valeurs dans l'équation (4) et faisant passer la constante ^mm'cfia'^nn' dans le second membre, on obtient

(5) w?ae^ 4" Yn^ci'^'^

+2mm'aV2nn' — ^ , cosB A , cos 8 + 7-; r = K

Ll-fv/l— e^ i-j-v^i— e'a ^1+C088j

K désignant une constante arbitraire.

La valeur de cette constante doit dans tous les cas être fort petite par rapport aux carrés et aux produits des masses m et m' ; car dans le premier membre de Téquation (5), ces carrés et ces produits se trouvent multipliés par e^, e'^, sin^S, quantités dont les racines peuvent toujours être supposées très petites à une époque donnée. Gomme d'ailleurs ni et n( ou n et n' ne sauraient être de signes différents, soit que Ton suppose les planètes m et m' tourner dans le même sens autour du Soleil, ce qui est le cas delà nature, soit qu'on les suppose tourner en sens contraire , on voit que chacun des termes d u premier membre de Téquation ci-dessus restera toujours très petit par rapport à w*, m'^, mm et qu'ainsi les quantités e, e\ 8 et leurs analogues relativesàm'^w'", etc., demeureront dans tous les temps très peu considérables, comme elles le sont aujourd'hui. Concluons donc de là que la stabilité du système planétaire est assurée par rapport aux excentricités, aux inclinaisons et aux grands axes, en ayant égard au carré des forces perturbatrices et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, ce qui est l'importante proposition que nous avions à démontrer.

111. — Du PLAN INVARIABLE DU SYSTÈME DU MONDE. - FORMULES OUI DÉTERMINENT SA POSITION

On nomme plan invariable du système du monde, un plan qui reste toujours parallèle à lui-même quels que soient les changements survenus dans les éléments des orbites planétaires par l'effet des attractions mutuelles.

Ce plan dont la découverte est due à Laplace jouit de deux propriétés remarquables qui permettent d'en retrouver facilement la posilion à un instant quelconque. Ces deux propriétés sont les suivantes :

i'» La somme des produits de la masse de chaque planète, multipliée par Taire que décrit son rayon vecteur projeté sur ce plan, est un maximum ;

2^ La même somme relativement à un plan quelconque qui lui est perpendiculaire est nulle.

Soient 9 Tinclinaison du plan invariable sur le plan des (cy et 6 la longitude de son nœud ascendant comptée h partir de Taxe des œ. En se reportant à ce qui a été dit Chap. II, Livre I et aux formules (1), (2), (3) du paragraphe qui précède, on aura pour déterminer les angles «p et 6,

tang <p sin 6 = r:? =

langcpcosô = -rf =

^i»» Va (1 -

e^) sincpsînO

v/ail

"^fn^a

é^) sincpcosô

V m \la (1 — t^) cos cp

DU PLAN INVARrABLE DU SYSTÈME DU MONDE 329

le signe V s'étendant à tous les termes semblables relatifs

à m\ m", etc.

Dans l'état actuel de FAstronomie, la considération du plan dont nous parlons est de peu d'importance, étant donnée la longue suite d'observations que Ton possède et qui permet de déterminer, avec une exactitude suffisante, les déplacements des orbes planétaires sans qu'il soit nécessaire d'en rapporter les mouvements à ce plan.