LIVRE VI

INTRODUCTION A LA THÉORIE DE LA LUNE. — ANALYSE MATHÉMATIQUE DU PROBLÈME DES TROIS CORPS

. — DÉTERMINATION THÉORIQUE DES PRINQPALES INÉGALITÉS DU MOUVEMENT DE LA LUNE

Les difficultés théoriques que présente Tévaluation des inégalités qui affectent le mouvement de la Lune tiennent à deux causes distinctes : à Tintensité de la force perturbatrice qui élève, en général, les coefficients des inégalités, et à ses variations continuelles etrapidesqui en diminuent la durée et en augmentent beaucoup le nombre. Newton en considérant cett* dernière force a pu la décomposer en deux autres, Tune agissant dans le sens de la force centrale et l'autre dans la direction de la force qui est toujours tangente à Torbite de la Lune ; et par cette décomposition, il est parvenu à expliquer très simplement les principales inégalités que l'observation a fait découvrir dans le mouvement de cet astre. Mais Newton ne s*est pas borné à cette simple explication qu'il a donnée dans le premier livre de ses Principes ; il y est revenu dans le

systemale mundi, et là, après avoir déterminé par le calcul la mesure exacte des forces perturbatrices du Soleil ^'^\ il a donné les valeurs précises de chacune des inégalités dont nous parlons et fait voir qu'elles étaient conformes à Tobservation. La première des inégalités de la Lune que Newton a entrepris de calculer est celle qu'on appelle sa variation. On sait que cette inégalité provient en partie de la forme elliptique de l'orbite lunaire et en partie de l'inégalité des aires décrites par son rayon vecteur. Par la combinaison de ces deux causes, Newton obtient une équation qui s'élève à 32', 32" dans les octants, c'est-à-dire lorsque le lieu de la Lune est à 45" de celui du Soleil ou de la Terre ^^^ ; c'est le maximum de l'inégalité ou plutôt ce serait là sa plus grande valeur, si la Lune en passant de la quadrature à la syzygie décrivait un angle qui fût exactement de 90o.Mais à cause du mouvement réel de la Terre qui donne au Soleil un mouvement apparent, cet angle, décrit par la Lune, est toujours plus grand que l'angle droit et son excès varie dans le rapport même de la révolution synodique à la révolution périodique de cet astre. Tous les angles décrits autour de la Terre par le rayon vecteur lunaire doivent donc être augmentés dans le même rapport, et Newton trouve que cette augmentation, dans les moyennes distances du So-

(a) PhilosopfiisB naturalis. Prop. XXV. Livre III. Newton irouve que la partie de la force perturbatrice du Soleil qui agit suivant la direction du rayon vecteur de la Lune est, dans sa valeur moyenne, la 1 : 178,725 de celle qui relient la Lune dans son orbite ou la 1: 638093 de la gravité à la surface de la Terre.

Quant à la seconde partie de la môme force, celle qui agit parallèlement à la ligne qui va du centre du Soleil à la Terre, on déduit aisément du raisonnement de Newton, qu'elle est à la première force, comme 3cos 0 est à 1, e désignant l'angle que font entre elles les droiiea qui joignent les centres de la Lune et de la Terre au centre du Soleil.

(6) De mundi syslemaie, Prop. XXIX.

leil à la Terre doit être de 2',38",ce qui porte le maximum de la variation lunaire à 35' 10". Dans les autres cas, c'est-à-dire pour les autres distances du Soleil à la Terre, Newton trouve encore que cette inégalité varie dans le rapport du carré du temps de la révolution synodique de la Lune, divisé par le cube de la distance du Soleil à la Terre, et fixe ainsi son maximum à 33,14" lorsque le Soleil est à son apogée, et à 37',ir' lorsqu'il est à son périgée.

De Fexamen de la variation de la Lune, Newton passe à celui du mouvement horaire des nœuds <*J; et dans cette recherche, comme dans la première, il néglige Texcentricité de Torbile lunaire. Des deux composantes, dans lesquelles se décompose l'action perturbatrice solaire, Newton n'a besoin ici que de considérer la seconde ; car la première agissant dans le plan même de l'orbite lunaire, ne saurait altérer la position de ce plan et, par suite, être la cause du mouvementdesnœuds. En n'ayant donc égard qu'à cette seconde force. Newton démontre facilement que la vitesse des nœuds est proportionnelle au produit des sinus des trois angles S, Sf , Sj qui expriment respectivement les distances de la Lune et du Soleil au nœud, et de la Lune à la quadrature ; et de cette loi il conclut que lorsque l'un de ces trois sinus passe du positif au négatif le mouvement des nœuds devient direct. Le contraire a lieu lorsque ce sinus de négatif qu'il était devient positif, car alors le mouvement direct se change en mouvement rétrograde. Ainsi, lorsque la Lune est entre une des quadratures et le nœud le plus voisin, les nœuds avancent suivant l'ordre des signes ; ils rétrogradent, au contraire, dans les autres

(a) De mundi syilemate. Prop. XXX.

i-imj^^i'-^

cas ; et comme le mouvement rétrograde est en excès sur le mouvement direct, il arrive qu'à la fin de chaque révolution les nœuds se sont mus contre Tordre des signes, c'est-à-dire ont rétrogradé.

Quand les nœuds sont dans les quadratures et la Lune dans les syzygies, le moyen mouvement horaire de cet astre est de 32',56",27"'',i3*^, et Newton trouve alors que le mouvement horaire du nœud doit être de 33'',10"^33"'. Dans les autres cas, le mouvement horaire du nœud est à l'angle 33'^i0'',33'^, comme le produit des sinus des trois angles S, S^, 8^ est au cube du'rayon.

Pour toutes les autres situations des nœuds et de la Lune, Newton démontre encore que le moyen mouvement horaire du nœud est égal à la moitié du mouvement horaire qui a lieu dans les syzygies, c'est-à-dire que ce mouvement est égal à 16",35"M6"',36% multiplié par le carré du sinus de l'angle qui exprime la distance des nœuds aux syzygies.

Si Ton suppose que l'orbite lunaire soit une ellipse dont la Terre occupe le centre, le mouvement moyen des nœuds, dans le§ quadratures, se réduira à i6'',16"',37*^,42'' ; et dans les autres positions de la Lune, il sera proportionnel au carré du sinus de la distance au Soleil. Quant au mouvement moyen des nœuds dans une année sidérale, Newton le déduit des mouvements moyens considérés dans Torbite elliptique et trouve que ce mouvement doit être de i9°,18',i'^23"^ ce qui s'accorde assez bien, comme on voit, avec le résultat que fournissent les observations.

Dans la proposition XXXIII, Newton cherche à déterminer l'angle qu'il faut ajouter ou retrancher au mouvement moyen pour avoir le lieu vrai de la Lune dans un temps donné, et

A9TB0N0MIB TH^OBIQUB. 22

pour cela il se sert d'une construction géométrique peu compliquée, mais qu'il donne sans démonstration ^^K Cet angle qu'il nomme Véquation semestre du mouvement des nœuds (Œquatio semeslris motus nocUfrum), s'élève dans les octants àl^jSff. Newton signale encore une autre inégalité de ce mouvement qui a lieu tous les mois et qu'il appelle menstnm ; mais il f%it observer que sa considération n'est pas nécessaire dans la recherche de la latitude lunaire, parce que cette inégalité se trouve compensée presque exactement par une inégalité de même durée qui existe dans la variation de rinclinaison de l'orbe lunaire.

La recherche du mouvement des nœuds de la Lune est intimement liée à celle de la variation de l'inclinaison du plan de son orbite. Newton s'occupe de ce dernier problème dans la proposition XXXIV, et trouve que la variation horaire de Tinclinaison de l'orbite lunaire sur le plan de l'écliptique, lorsque i

les nœuds sont dans les quadratures, est égale au mouvement I

horaire maximum des nœuds ou à 33", 10'", 33^% 12', multiplié ,

par le produit sin B sin S| sin S^, et divisé par le cube du I

rayon. Ce résultat convient seulement au cas du mouvement j

circulaire. Pour l'appliquer au mouvement elliptique, il faut

(a) Voici à pea près ea quoi consiste cette construction de Newton.

Soit fait un angle A égal au double de celui qui exprime la distance du Soleil au lieu moyen du nœud ; et prenons sur les deux côtés de cet angle des dislances BA, AG qui soient entre elles comme le moyen mouyemenl annuel des nœuds est à la moitié de leur mouvement vrai moyen, lorsqu'ils sont dans les quadratures, c'est-à-dire comme 19% 49' ,3", 55'*^ est à 0*, 31\ 2^^, 33''' ou bien encore comme 38|3 est à 1. Si l'on achève alors le triangle BAC formé par Tangle A et par les deux côtés AB, AG, Tangle B de ce triangle, opposé au petit côté AG, sera la correction qu'il faudra appliquer au mouvement moyen des nœuds pour avoir leur mouvement vrai, correction qui sera positive ou négative suivant que les nœuds passeront des quadratures aux syzygies ou des syzygies aux quadratures.

le diminuer dan» le rapport du petit axe au grand axe ou le

multiplier par —•

La variation horaire de Tînclinaison étant ainsi déterminée. Newton cherche, dans la proposition suivante, la valeur de Tinclinaison pour un instant quelconque ; et en employant la même méthode que dans la proposition XXXIII, il trouve que le maximum de sa variation, lorsqu'on n'a point égard h la position qu'occupe la Lune dans son orbite, doit être de 16',23*'^. Les nœuds étant dans les quadratures, il faut diminuer cet angle de i'jâl*'^, si la Lune est dans les quadratures et l'augmenter de la même quantité si elle est dans les syzygies. Newton admet que lorsque les nœuds sont dans les syzygies, l'inclinaison est de 5», 17', 20* ; et il en conclut que lorsque les nœuds sont dans les quadratures et la Lune dans les syzygies, cette inclinaison n'est plus que de 4°, 59', 35*.

II. — Des PETITES INÉGALITÉS QUE NEWTON A MENTIONNÉES DANS LE SCHOLIE QUI TERMINE SA THÉORIE DE LA LUNE

Dans le scholie qui fait suite à la proposition XXXV du livre m. Newton a fait connaître plusieurs petites équations ou inégalités nouvelles qu'il dit avoir déduites de la Théorie, mais sans indiquer la route qu'il a suivie pour y parvenir. Ces inégalités que l'observation seule n'aurait pu que très difficilement faire découvrir à cause de leur petitesse, s'ajoutent aux grandes inégalités dont nous venons de parler et doivent en être considérées comme autant de corrections.

Elles ont servi de fondement aux premières Tables lunaires qui aient été construites d'après le principe de la gravitation universelle, et ont beaucoup contribué à les rendre plus parfaites.

La première des inégalités considérées par Newton est ïéquation annuelle du moyen mouvement de la Lune dont la connaissance est due à Tycho-Brahé. Après avoir très simplement expliqué la cause de cette inégalité et montré qu'elle était due à un changement dans la vitesse de Tastre, Newton fixe son maximum à ll',51", valeur qui ne diffère pas de celle adoptée par Kepler et Horrox; elle est additive lorsque la Terre va de son aphélie k son périhélie et soustractive dans le cas contraire. Cette équation que Tobservation avait depuis longtemps indiquée suit exactement la même loi que l'équation du centre du Soleil, mais elle prend un signe contraire. Son argument ou l'angle dont elle dépend est donc exprimé par la distance du Soleil au périgée de son orbite ou par son anomalie moyenne.

Newton mentionne encore deux équations analogues à la précédente, et qui affectent le mouvement des nœuds et celui de l'apogée. Il fait la première de 9',24'' dans son maximum et la seconde de 19',43''. Newton entre ici dans quelques détails sur la manière dont il a déduit ces inégalités de la théorie, mais sa démonstration est loin d'être satisfaisante : elle s'appuie en effet sur deux propositions qu'il ne démontre pas et qu'il énonce pourtant comme des axiomes. La première consiste en ce que si la force perturbatrice solaire suivait l'inverse du cube des distances au lieu de suivre la loi du carré, l'équation du centre du Soleil augmenterait dans le rapport de 2%54', 30" à 1° 56', 20'' ou à peu près dans celui

de 3 à 2; la seconde est que les équations annuelles du mouvement de l^apogée et des nœuds doivent être à 2®, 54', 30^ comme les mouvements moyens de l'apogée et des nœuds de la Lune sont au mouvement moyen du soleil. D'Alembert qui s'est livré dans le discours préliminaire de ses Recherches à un examen attentif de la théorie de Newton, semble élever quelques doutes sur l'exactitude de ces propositions; il trouve d'ailleurs que « lors môme qu'elles seraient vraies, elles ne devraient pas être énoncées comme des axiomes ».

Le moyen mouvement de la Lune doit être encore corrigé de deux autres équations dépendantes de la distance du Soleil à la Terre, et qui viennent de ce que l'action perturbatrice du Soleil sur la Lune est plus grande lorsque le grand axe de l'orbite lunaire est dirigé vers le Soleil que lorsque ce même axe en est éloigné de 90°. La première qui dépend directement de la distance angulaire du Soleil à l'apogée de la Lune est ce que Newton appelle Équation semestre JSA\çi est de 3',45''dans les moyennes dislances du Solei l à la Terre, lorsque la ligne des apsides est à 45*» du Soleil ; mais Newton ne paraît pas la donner comme bien certaine ^"^K La seconde h^i^^Aét seconde équation seinestreàé^evià du sinus de la double distance du Soleil au nœud de la Lune et s'élève à 47'' lorsque les nœuds sont aux octants et que la Terre est dans ses moyennes distances au Soleil. Pour les autres dislances du Soleil, mais toujours pour la même situation des nœuds, cette équation varie dans le rapport inverse du cube

(a) Cette première équaliun semestre est la deuxième correction que Newton applique au niauvemeiit moyen do la Lune; elle a été conclue desobservatiuns. Quant à la seconde elle est due cerlaiuemenl à la théorie: Newton après l'avoir donnée ajoute uii ex theoria gravilalis colligo. Clairaut faisait cette dernière équation de 1 ,21", d'/VLmbert do l',9", Mayer de 58", Lalande de l',0 et OelamLre de r,2".

de la distance du Soleil à la Terre ; elle est de 49' environ lorsque le Soleil est à son périgée et de 45"^ lorsqu'il est à son apogée.

Ces deux équations jointes à l'équation annuelle sont les trois premières corrections que Newton fait subir au lieu de la Lune ou à sa longitude moyenne. La quatrième correction ®st Téquation variable du centre que Newton déduit de Tanomalie moyenne et de l'excentricité, d'après la connaissance du lieu vrai de l'apogée. L'équation de ce lieu est considérable ; Newton la détermine au moyen des observations et trouve i2**,i8' environ lorsqu'elle est à son maximum. Pour en déterminer la valeur h une époque donnée quelconque, Newton se sert de l'hypothèse d'Horrox renouvelée par Halley, et qui consistait à faire mouvoir le centre L de l'ellipse lunaire dans un petit cercle LMN dont le rayon était le sinus de l'équation principale de l'apogée. La distance CT de son centre à la Terre exprimait alors l'excentricité moyenne de la Lune et cette môme distance augmentée ou diminuée du rayon CL ou du sinus de l'apogée en était respectivement la plus grande et la plus petite valeur. En prenant ensuite sur ce cercle un arc LCM égal au double de la distance entre le Soleil et Tapogée moyen de la Lune, pour une époque donnée, l'angle GTM représentait l'équation de l'apogée et TM l'excentricité pour la môme époque. Newton ne parle pas dans son Ouvrage de YÉvection qui était appelée seconde inégalité lunaire, mais il est évident qu'il la remplaçait par un changement d'excentricité dans l'orbite de la Lune avec un balancement dans l'apogée, comme Horrox l'avait fait avant lui.

La cinquième équation de correction dans la théorie de Newton est la variation dont nous avons déjà parlé au para-

graphe qui précède ; la sixième dépend de la distance de la Lune au Soleil, plus la distance de Tapogée de la Lune à celui du Soleil et est égale, dans son maximum, à ^^^V. Newton l'appelle seconde équation du centre; elle est positive lorsque son argument est plus petit que 180® et négative lorsqu'il est plus grand que cet angle.

Enfin la septième et dernière équation qui s'applique à la longitude moyenne de la Lune, dépend de la simple distance de la Lune au Soleil et est de 2', 20" dans les quadratures, c'est-à-dire lorsqu'elle est dans son maximum. Mayer faisait cette équation de i\^T et Clairaut de 3',40".