I. — Forme générale de ce développement
Les équations qui définissent sous forme canonique le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, et auxquelles Delaunay s'est arrêté , dans sa Théorie de la Lune^ sont, comme on Ta vu, les suivantes:
g, h, l. G, H, L ont les significations que nous leur avons attribuées au chapitre III du livre II, et c'a est égal à
A^^^m'[-= * ^-^^'-i-yy;-l-^^-].
Cette foactioQ, dans le cas qui nous occupe, résulte princîpa-
rfG dA dt ~ dg'
dg dS^ dt - rfG'
rfH dA dt ~ dh'
dh dA dt ~ dH'
rfL dA dt~ dl'
dl dSi
dl ~ dl!
lement de Tàclion perturbatrice du Soleil, et Ton doit y remplacer a?, y, z par leurs valeurs déduites des formules du mouvement elliptique et exprimées en fonction des variableô g^ A, ^, G, H, L. Toutefois, pour faciliter le développement de
^, on substitue aux quantités G,H,L celles a,^, et Y=sin- i,
liées aux premières par les relations
a = ~, e = yi-j^,, Y = V2-2G'
qui se déduisent de celles que nous avons fait'connaUre aux pages 89 et 155.
En même temps que Ton remplace a?, y, -ar, par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables, on doit mettre à la place de X %/ z\ les valeurs de ces coordonnées qui sont supposées connues en fonction du temps (*).
^ devient ainsi une fonction de a, e, y, /, g^ h, et cette fonction, par suite de la substitution de L et ^ à C et c, se trouve modifiée de telle sorte que le temps t n'y entre plus explicitement qu'introduit par • les coordonnées du Soleil; dans les coordonnées de la Lune, il est remplacé par Tanomalie moyenne î. En outre, <R est augmenté d'un terme fonction du grand axe et indépendant de la masse troublante m\ ce qui fait que cette fonction ne se réduit plus à zéro, lorsqu'on y suppose i^ulle l'action perturbatrice du Soleil.
(a) Pour simplifier la question et n^avoir à en considérer que la partie capitale, on fait tout d'abord abstraction des inégalités qui afTectent les éléments elliptiques du Soleil, et Toq uégligo, en outre, daus Tévaluatlon
de la force perturbatrice, lo raprx)rt —, de la masse de la Terre à celle du
Soleil, rapport qui est très petit. On tient compte ensuite, dans une seconde approximation, des termes négligés, ainsi que des effets très faibles dus à l'atlracUon des planètes, à la non-sphéricité de la Terre, etc. '-
34^6 LIVRE Vï — CHAPITRE I!
Pour effectuer le développement de la fonction ^, nous prendrons, pour plan fixe, le plan de Técliptique à une époque particulière correspondant à l'origine du temps, et nous rapporterons A et ^ au plan mobile des ocy parallèle au premier. Ces angles seront alors la longitude du nœud ascendant de la Lune sur ce plan des œy^ longitude comptée à partir de Taxe des x^ et la distance angulaire du nœud ascendant au périgée. Gela posé, soient :
V Tangle compris entre la ligne des nœuds et le rayon vecteur r ; t rinclinaison de l'orbite lunaire ;
^ etT) les coordonnées du centre de la Lune sur le plan des ary^ coordonnées rapportées à la droite d'où l'on compte l'angle t?, et à une perpendiculaire à cette droite. On aura
Ç = r cos f>y
7| = r sin « cos «,
et en outre
jt = r sin t? sîn t.
Mais en prenant pour axe des œ la ligne fixe d*où Ton compte les longitudes, et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite, on a
œ =z\ cos h — 7j sin A, y = 7| cos A + 5 sin h.
On a donc
a? = r cos V cos h — r sîn t? cos t sîn A, y = r cos î? sin A -f r sin v cos i cos A, -y = r sin « sin t.
Ces relations expriment, comme on voit, œ, y y z^ en fonction de r, Ti, iy et de r.
Relativement aux coordonnées x\ y', ^ dont l'origine est au centre du Soleil, si Ton désigne par r', t?', h\ i des quantités analogues à celles r, r, A, t, savoir : r la distance du Soleil à la Terre ; t?' la distance angulaire du Soleil au nœud ascendant de
Fécliptique mobile; 7i la longitude du nœud ascendant de Fécliptique mobile comptée sur Técliptique fixe à partir de la droite qui a été prise pour axe des m; i' l'inclinaison mutuelle des plans des deux écliptiques ; on aura semblablement
œ'z=z r' cos o' cos h! — / sin v cos H sin h\ y' =zr^ cos v' sin A' -f" ^* sin î?'*co8 %' cos h\ z' = r' sin v' sin i\
Appelons h le cosinus de l'angle compris entre les deux rayons vecteurs r et r'; on aura
œx* -|- yy* -j- zz* = tr'^^ pa = ra +r'* — 2rr'S,
et par suite Texpression précédente de S^ deviendra
W ^ = è + ^LN/r^ + r'*-2rr'S "" ^J'
Quant à la valeur de S qui entre dans cette formule, elle est égale à
5 =(cos V cos A— sin v sin h cos t) (cosv cos Ji — sînu'sin A'cost") -|- (cost?sin A-|"Sinî?cosAcost) (cos » sin A'-f-sint?'cos A'cose') -J- sin V sin t sin t?' sin i".
Si Ton observe maintenant que
sin t = 2y v/l — Y^i sin i' = 2yVi —y*, cos 1 = 1— 2y*, cos i' = 1 — 2 y'*,
(y' étant égal à sin ^ /'), on pourra mettre cette expression de S sous la forme suivante :
S = (l y' ^'i 4, yY') cos(r4- a — t?' — A')
-J- (^2 ^2^'*) COS (w — A 4- v' 4- ^'j + (^'2 ^2^'*) COS (t? + A 4- r' - A')
(ô) 4, ^2^'a COS (t? — A — t?' + A')
+ âYyVi — Y^ Vi — y'^ ces (u — t?') — âYyVi — r^ v/l — y'* cos [v 4- t?').
En substituant dans l'expression précédente (a) cette valeur de Si ^deviendra donc une fonction des variables y, y't v, t?', A', A, r'et r'; et comme r et «sont donnés, d'après les formules du mouvement elliptique, en fonction de a, «, /, et^, r'H aura finalement cette forme
^ = fonct. m' (y, y', A, A', t?, i?', a, e, Z, ^).
Les valeurs de r et de t?' qui figurent dans cette expression se rapportent au mouvement apparent du Soleil, tel qu'il résulte des diverses causes qui le troublent. Pour rendre aussi simple que possible le développement de ^, nous supposerons tout d'abord que ce mouvement se fait rigoureusement suivant les lois du mouvement elliptique, et nous ferons, par conséquent, abstraction des inégalités tant séculaires que périodiques qui l'afTectent. r et v' étant alors réduits à leur partie elliptique^ les valeurs de ces quantités seront données, comme celles der et det?, à l'aidedes formules que nous nvons fait connaître à la page 96, en ayant soin seulement d y accen-
tuer les lettres a, e, ^, g, qui y entrent. Par suit^ de celte supposition, Tangle y' sera nal, h' deviendra une constante que l'on devra partout réunir à ^', de telle sorte que AV+i^' représentera la longitude du périgée solaire; et quant à l'angle f, il aura pour valeur rît -]- consL, n' étant donné par la relation
asJa'
Nous négligerons ici la masse M de la Terre qui est très petite relativement à celle m! du Soleil. Au lieu de la valeur
qui se déduit de la formule précédente, nous pourrons donc, dans une première approximation, prendre simplement
II. — DÉVELOPPEMEiNT DE LA FONCTION PERTURBATRICE EN SÉRIE ORDONNÉE PAR RAPPORT AUX EXCENTRICITÉS ET A l'iNCLINAISON MUTUELLE DES ORBITES DE LA LUNE ET DU SOLEIL.
Il nous reste à effectuer le développement de la fonction Si. dont nous venons d'indiquer la formation.
La distance r' du Soleil à la Terre étant très grande relativement à celle r de la Lune, on peut développer le premier terme entre parenthèses de l'expression de R en série très
convergente, ordonnée suivant les puissances de -,• Posons
= 7U« + ^,U. + i^;U2 + pîU3+-
y^ra+r-»— ar/S r' "» ' r'» ^« ' r'» ~^ ' r
Texpression générale du coefficient U;„ se trouvera, comme on sait, en cherchant le coefficient de r^ dans le développement
de (1 — 2rS + r^) ^ , et Ton aura
mim-^ i) im - 2) (m -~ 3) , 1
Faisant successivement dans cette expression m =0, 1,2, 3..., on aura donc
Uo
U5-24* 24^* +24*' U -22iis« »Z?3S4 4. M:^
Par suite, l'expression complète de A. deviendra
Nous supprimons ici le terme -j> terme qui ne renfermant
pas les éléments ï, g, h\ L, G, H, disparaîtrait des furmules (1).
U faut maintenant substituer dans les valeurs de Uj, U3.,,. l'expression (6) de ^ et y faire y'=o, puisque nous négligeons
Djgitlzed by
les inégalités du mouvement du Soleil. Or, à cause de la
petitesse du rapport -; dont les diverses puissances sont les
facteurs de U2, U3... on peut, dans Texpression ci-dessus de
^, négliger d'abord les termes qui sont de l'ordre -;j> termes
qui ne produiraient que des inégalités insensibles. Par la même raison, on peut encore, dans les valeurs de U3, U^ et U5 que Ton conserve, faire abstraction des termes en y', y^ et y respectivement. Ainsi simpliBée, la fonction A se développe facilement en une série de cosinus d'angles formés par la réunion des divers multiples de h, g, l, h\ g\ l\ et donne, en s'arrétant aux dix premiers termes,
^ lA , ,aMl 3 « , 3 , , 3 ,, , 3 .
-îT»«''-7r'«" + f««'«"+r--
+ 2Tf ''" -384* +32* *-Ï6* ^J ''«'^ -r6^'*'+64'' * +2-56*'+6l* ^V^'^
Delaunay, qui a poussé ce développement jusqu'aux quantités du huitième ordre, est parvenu à une expression qui ne renferme pas moins de 321 termes. ^
III. — Ordre des différents termes qui entrent dans l'expression DE LA fonction PERTURBATRICE
Afin de pouvoir facilement distinguer, dans le développement de la fonction perturbatrice, Tordre des termes que Ton doit conserver d'après le degré d^approximation auquel on
désire s'arrêter, on est convenu de regarder le rapport — des
moyens mouvements du Soleil et de la Lune comme une quantité très petite du premier ordre; ce rapport est représenté à très peu
près par la fraction — > la distance moyenne du Soleil à la Terre étant 1.
Pareillement, on regarde comme des quantités du premier ordre les fractions e, e\^y dont les valeurs sont à très peu près
égales à— î —? rr • Quant aux carrés et aux produits de ces quantités, à leurs cubes et à leurs produits de trois dimensions etc. on les considère, en général , comme des quantités du deuxième ordre, du troisième ordre, etc. Toutefois, à l'égard de e\ comme cette quantité est environ trois fois plus petite que celle y, il convient de regarder e*, e'*, e''... comme des quantités des quatrième, cinquième, sixième ordres, etc.
Relativement au rapport —7 des moyennes distances de la Lune et du Soleil à la Terre, rapport qui est à très peu près
égal à -jT-zi on le considère comme une quantité du second
ordre. Enfin on regarde comme étant du second ordre le facleur w'-7ji qui multiplie les premiers termes du développement de ^. Le rapport de ce terme à celui non périodique
^ est, en effet,
fxa'3 n*
et nous avons vu que la quantité — est du premier ordre. De là résulte que les autres facteurs
dont les rapports au premier terme ^ ont respectivement pour valeurs
devront être regardés comme des quantités des quatrième, sixième, huitième ordres, et ainsi de suite.
lY. — Expression des coordonnées de la lune en fonction
