ANALYSE MATHÉMATIQUE DU PROBLÈME DES TH0I3 CORPS

sont du second ordre et aux nornhre de six. Mais en Les exprimant en fonclion des variables principales r, r\ p, comme Ta fait Lagrange, on peut les réduire à deux équations différentielles du second ordre et h une du troisième. Voici Tanalyse très simple sur laquelle repose celte transformation, analys que l'on peut rendre plus concise encore, en modifiant légèrement la marche du calcul .^uivie par Lagrange.

On déduit de la première des équations (1) en la difTérentiant deux fois de suite par rapport h £,

expression dans laquelle

Or, si dans cette équation on met à la place des dérivées

j^ ' '^' "^^ ^^^^ valeurs fo qu'on ait égard aux relations

-^t ^ï -^ï leurs valeurs fournies par les équations (2), et

r^ = a^ ^y^ + z\ œx -\- yy' -f ^^' =^ | (r^' + r'^ - f).

on aura

équation qui subsiste quand on y remplace r, *n*, v par r\m, v^ ou par p^ m, î?^, ce qui donne deux autres équations pour exprimer ^ et -^■

On a d'ailleurs par la différentiation de Téqualion qui donne v^

cPx cPy cPz d'où en mettant encore pour -^> -j-f-» -^> leurs valeurs

tirées des équations (2)

Faisons pour abréger

(^) 7^ "" ^ = ^4» H ~ ^ = ^2 prs — ;3 = <»4 — ^2 = ^3; il en résultera

et, par suite, l'expression ci-dessus de vdv deviendra

Maintenant si Ton différentie Téquation identique

^ + yy' + ^^'= 2 (^^ + ^'* — p*)