ADMET UNE SOLUTION RIGOUREUSE

Nous avons analysé dans V Introduction historique les deux cas où le problème des trois corps admet une solution rigou-

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reuse. Il nous reste maintenant à développer la solution de ces cas, c'est-à-dire à exprimer analytiquement les conditions que doivent remplir les masses, les vitesses et les distances des trois corps pour que le mouvement de deux quelconques d'entre eux autour du troisième, soit de même nature que celui d*un point matériel attiré par un centre fixe, question que Ton sait résoudre exactement.

Soient donc m, m\ m" les masses de trois corps ou points matériels que nous supposerons s'attirer suivant la loi générale de la gravitation. Admettons que le mouvement de deux de ces points, savoir w! et rn!' s'effectue toujours dans an même plan autour du troisième m, et soient:

X t\.y les coordonnées du point m' par rapport à des axes

rectangulaires passant par le point m ; X et y' des coordonnées semblables relatives au point m" ;

r, r',p les distances mutuelles mm , mm , mm\ eu sorte que

r> = co^+y\ r'> = œ'^ + y^ p^ = (œ-xy+ (y-y?.

D'après ce qu'on a vu au paragraphe qui précède, on aura pour déterminer les mouvements relatifs de m' et m" autour du point w

/ cPx llX , „ (x — x' x'\

cPaj' a'a?' , , (as — x , œ\

CAS PARTICULIERS DU PROBLÈME D£S TROIS CORPS 36o Posons

d'où

r = (1 + p) r', p = pr\

p étant une constante qui sera essentiellement positive, si Ton suppose r > r' \ on aura

Or, si Ton substitue les valeurs (2) dans la troisième des équations (1), on aura

ou en représentant par K' la partie entre crochets

Les mêmes substitutions faites dans la première des équations (1) donnent

en sorte que la condition pour déterminer p est exprimée par la relation

OU par celle

|xy + (3m -f 2m'0 p* + (3m + m") p»

^ ^ ' — (m'^-f 3m)p«— (2m*' + 3m')p — (m' + m^)==ot«>.

La seconde et la quatrième des équations (i), traitées de la môme manière, conduiraient à Féquation

et à la miéme relation (a). Ainsi les équations (1) sont satisfaites en prenant pour a; et ^ des valeurs de la forme (2). Et comme la relation (4) supposée remplie» rend la première et la troisième des équations (1) identiques entre elles et avec Téquation (3) ; de même qu'elle rend la seconde et la quatrième des mêmes équations identiques entre elles et avec Téquation (5), on en conclut que le cas de

(a) si dans le premier membre de cetle relation, on &lt successivement p =: Oy p =: 1, on obtient

résultats de signes contraires, tant que l'on a m > m'. Donc, dans ce cas, p est toujours inférieur à l'unité*

Lorsqu'on suppose que les trois masses m, m', m' se rapportent respectivement ou Soleil, à la Terre et à la Lune, la valeur positive de p est une très petite fraclion, et Ton a approximativement

ou a très peu près

comme Laplace Ta fait observer au Livre X de la Méoaniqw UUêie.