La formule

t ^ f , \n. m.im — 1) , w.(/w— i)(m — 2) ,

29i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

dont nous venons de discuter les conditions de convergence et d'exactitude, est importante par ses nombreuses applications et tient de plus une place importante dans l'histoire de la science: c'est la première qu'ait connue Newton, et quoiqu'il ne l'ait publiée que plus tard, elle a précédé la découverte de la- série de Mercator et de celle de Brounker.

Cette formule est encore remarquable par la facilité avec laquelle on en déduii d'autres séries très-connues et très-importantes.

On peut mettre l'équation (i) sous la forme

Si l'on fait tendre m vers zéro, le premier membre, qui peut s'écrire

a évidemment pour limite la dérivée de (1 -H x)'^ par rapport à m, pour la valeur particulière m = o, c'est-à-dire 1 (i -h a?). En faisant m = o dans le second membre , on aura donc le développement de 1 (i -Ha?),