n{2/i — i) (2/1— 3) (2/1 — 2/nH-i) -+-'*J

Or on a, comme on le démontre aisément,

et par suite le produit i .2.3... /i.a^.X^ a pour terme général

c'est-à-dire, en supprimant les facteurs communs aux deux termes du coefficient,

± — ^^ ' ^ ^ 2/1 — 2/n)(2/i — 2/n— f). . . (n — 2/wh- i)x^'"\

ou enfin

et par conséquent le produit i.2.3... /la^.X" est la n'^'"* dérivée par rapport à x du polynôme,

on a donc enfin

^ " ~ 2" . 1 . 2 . 3 . . . /i rfj:"

et

(i — 2aa:-4-a») '•*= i 4-X.a H- X,a' 4-. . .-h X„a"-h

Cette formule est célèbre et nous la retrouverons de plusieurs manières.

289. Développement de sin œ. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

x' x^ ^*"~' J?*""^' sin Bx

sinx = j; 5-1-