i.2.3...(4/i — i) i.a.3... (4i-+-ij

Pour toute valeur de x, le terme complémentaire tend vers zéro , en sorte que l'on a toujours

sm;r = ^-

.2.3 1.2.3.4-5 1.2.3.4-5.6.7 290. Déi^eloppement de cos œ. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

jr' X' x^" cos 0 X

cos ^ = I \ r— 7 ... H y- ,

et Ton voit, comme dans le cas précédent, que le terme complémentaire tend vers zéro lorsque n augmente, en sorte que Ton a, pour toute valeur de x,

ros^=r

291 . Développement de cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin x.—L^ formule de Maclaurin permettant de développer une fonction suivant les puissances de la variable, permet par cela même de la développer suivant les puissances d'une autre fonction arbitrairement choisie, car rien n'empêche de prendre cette seconde fonction comme variable.

Si, par exemple, on veut développer cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin a?, on posera sin x=y, et cos mx deviendra cos m. (arc sin j). Or on a trouvé ( 151 ) pour x=o,

rf"»-2 cos m arc sin a: , .^, ,/.//, z?^ / , / ,s i

dx^" d^"^' cosmdiTCSxnx

=:ip (— I )"( /w» — I ) ( m' — 9) — [m» — ( 2n — I )'] sin m L tt ,

k désignant un nombre entier arbitraire, et le signe — de la seconde formule cor-

respondant au cas oii ce nombre* est pair; la formule de Maclaurin donne par conséquent

cos mlarcsmrJ-cosmA-. [i- -^j» ^ , ,.3.4 ^ " ,.2.34.5.6 ^^- * ' J

q:msmmA.[r- V..3 ^ "^ , .2.3.4.5 ^— " J ^

le signe — devant être pris lorsque k est pair.

Si Ton remplace y par sa valeur, la formule précédente devient

cos ma: = cos m/r 71 i sm*.rH ^ — r— ~ sm^ j; ^ , ' ^ ,. sin''^4-. . .

q:/nsmm/r7r 1 sin^ r-sm'a:+ i \: f p sm^j:--. . . •

I 1.2. 0 I.2.^.Z|..vi J

11 ne faut pas s'étonner de voir le second membre contenir un nombre indéterminé k. On sait en effet que, sin x étant donné, ços mx n'est pas déterminé, et peut avoir un nombre infini de valeurs si m est incommensurable, le développement de cette fonction, pour être général, doit donc être comme elle indéterminé.

Si l'on choisit une valeur de Xy pour déterminer le nombre entier A, qui lui correspond et qui rend la formule précédente exacte, on se reportera à ce qui a été dit( 151 ). cos mkti est la valeur que prend cos ma? lorsque sin a? est nul, et par suite l'hypothèse sino; = o répond à a? = Att. Si sin a? croit à partir de zéro jusqu'à

l'unité, X variera de Att à Att -h - si * est pair, et de *7r à *7r — - si * est impair.

Lorsque a? désigne le plus petit des arcs correspondant au sinus donné, on a A = o et

m» . , m'fm* — 4) . . m}{m' — ^)ini^ — \&] . ^

cosm:r = i sin^.rH ^^ — r-—' s\ïï^ x 7 ; ^ ,. ' sin^.r-f-. . -,

c'est la formule donnée parEuler etLagrange, qui ne répond, comme on voit, qu'à un cas particulier.

292. Lorsque m est entier, on a sinm^Ti = 0 et coswA7r= it î. Si de plus m est pair, la série se réduit à un nombre limité de termes. On a, par exemple, en faisant m= 2, m = [\y m = Qy

cos 2 jT = 1 — 2 sin' X ,

cos 4^=1 — 8 sin' ^ H- 8 sin^ JT ,

cos 6x= I — 1 8 sin' a: H- 48 sin* x — 82 sin* x.

293. Développement de sin mx suivant les puissances de sin x. — Si l'on pose L 38

sind7 = y, la fonction sin /no? devient sin (marcsinj): or on a trouvé {153j, pour

^p;T5 ^ = (— I)"m^(m' — 4)...(/n* — 4/i')sinm/fTr,

r/*"-^' sin marc siny , , x„/ , x/ , n r , / \,t i 3^:i^Ti ^=±(-i)''('w'— 0('w'-9)...[m'— (2/1 — i)']mcosmA-7r,

et par suite le théorème de Maclaurin donne, en remplaçante^ par sin £c,

sin/iïjr=smmyf7r i sm'^r H ^ — :r-^sin^^ ^ 7^ ., ^ ^sm"^-f ...

A 7 r . {"^^ — i)sin'j7 . (m' — i)(m» — 9) . ^ "1 .

k est un nombre entier qui reste arbitraire tant que l'arc x n'est donné que par son sinus. Dans le second terme, il faut prendre le signe -h si * est pair, et le signe — si A est impair.

La formule suppose, pour sina7 = o, sinmo; = sinm*7r; lorsque sin a; augmente

à partir de zéro, l'angle a?, d'abord égal à *7r, augmente Jttsqu'à ( A+ -j tt si * est

pair et diminue jusqu'à ( A— - J ;r si A est impair. Dans le premier cas il faut prendre le signe -1- du second terme, et dans le second on prendra le signe — . Lorsque x est le plus petit arc qui correspond au sinus donné, on a

m(/ii'— i) . , /w (m'— 1) (m* — o] , ^

sm mx =zms\nx ^ — - sin' x -\ ^ ' . > — v' sm* :r -H . . . :

c'est la formule donnée par Euler et reproduite par Lagrange.

Lorsque m est entier, sin mkn se réduit à zéro, et si de plus m est impair, les termes deviennent nuls à partir d'un certain rang et la série se réduit à un nombre limité de termes. On trouve par exemple

sin 3a: = 3 sin .r — 4 sin' ^f sin 5 jc = 5 sin ^ — 20 sin' :r -f- 16 sin* x , sin7:r = 7 sin^ — 56sin' j;-f- 112 sin* ^ — 64sin^^, sin9.r=:9sln^ — i2osin'a:-4-432sin*.^ — 676 sin' .r -h 266 sin'x, sin 1 1^ = 11 sin J?— 220 sin' j: -4- i232sin*a: — 28i6sin':r-+-28i6sin*.r — i024sin*' x.