Si l'on divise par m les deux membres de la formule

sin mx = m s\nx ^ sin'^r-f- ^ '.^ . , ^' sm^ x — . . . 1

et que l'on suppose ensuite m = o, le premier membre deviendra égal à x,

et Ton aura

j; = sm^H r sm'^ H .. , ^ sm*^-

formule très-célèbre et que nous retrouverons d'une manière plus directe. 295. Les formules

= m \ sinx 5-sin'j;-h ^ '^ , > ^' sin*x — . . . h

sm mx

m» . , m'im} — 4) . .

cos mx = I sm* j: H ^^ — ^r— r- sm* j: — . . . ,

peuvent aussi servir à retrouver les développements de sin z et cos z suivant les puissances de z. Posons en effet m a? = z et supposons ensuite que m

augmente indéfiniment, tandis que x tend vers zéro, le rapport ^^ — ayant

pour limite l'unité, on pourra remplacer sin x par a?, c'est-à-dire par — ; d'ailleurs

et par suite les équations ( 1 ) deviendront, à la limite.

sm -S = ^

C0SZ= I \

296. Développement de cosmx suivant les puissances de cos a?. — En ayant égard aux valeurs obtenues (154) pour les dérivées de cos m (arc cos a?), on trouve par l'application directe du théorème de Maclaurin,

cosm^

, , ./WTr/ m* , m' (m* — 4) , \ *

= cos 2/r-Hi — I cos'jrH ^^ — ^r—^cos*x — . . .

ztmsm a/f-hi) — cos x r- cos'x-h \ / t^ cos^x— ... h

* étant un nombre entier arbitraiçp, at le signe H- correspondant au cas où k est

pair, et le signe — au cas où k est impair. La formule ( i ) suppose que pour cosar = o on a a? = (a A -h i)-- Sicoso: varie de o à \^x varie de (aA-f- i)-^kn

lorsque k est pair, et de (2*-+- 1) -à (^-+- i)7r lorsque A est impair.

Si Ton veut que x représente le plus petit arc dont le cosinus est cos x, on a ^= o et

mi: f m» , mHm}—L) ^ \

cos nix = cos — ( I cos* x -\ ^ — 77-7- cos^x — . . . )

, mn / m' — I , \