msm — cos x ;r- cos^ j

Si Ton fait m = a, m=3, m = 4> on trouve

cos 3 ;r = 4 cos* x — 3 cos x ,

cos 4^ = 8 cos* X — 8 cos' .r -h I ,

cos 5 .r = 1 6 cos' x — 20 cos' x-{-5 cos.r ,

cos6:c= 32Cos*x-- 48 cos' J7 -4- i8cos*j: — 1.

En général, cos mx se compose d'un nombre fini de termes toutes les fois que m est entier. Les termes sont de degré pair ou impair, suivant que m est lui-même pair ou impair.

297. Développement de sin mx suivant les puissances de cos x. — En ayant égard aux valeurs obtenues (155), pour les dérivées de sin (marccosir), quand on suppose 07 = o, on trouve

. / f . ^^ / 'w* m^ini^ — 4) . \

sm mx = sm f 2/1 + 1 ) — i cos' x -\ ^ — =— ^^ cos* .r — . . . )

/ f V '^î^ r ''i^ — ' , (wi^ — i)(m^ — q) ^ H

ni /w cos {ik-\- 1) — cos j: ^ cos'jr H o / ^ cos^j; — ... h

k étant un nombre entier arbitraire, et le signe — du second terme correspondant au cas où k est pair. La formule suppose que pour cos o? = o on ait o: = ( ^k-h 1 ) -»

et lorsque cos x varie de o à -4- 1 , 0; varie de [ik -\-i) - à Arr si A; est pair, et de

(aA-4-i)-à(A+i)7rsi A est impair. Pour aucune valeur de m cette série ne se

298. Remarque relative aux quatre séries précédentes, — Considérons les quatre

UVRB SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 301

séries qui viennent d'être obtenues :

cosm^=cos mkit\ i sin'xH ^^ — ^-~-'sin* j? ^ 7 / g g -sm^x-h,.. \

qpmsin mArTT sin^ ^-sin'ar-h — • 'TTX^ " '

sin m.r = sin /n/fTr i sin*^H ^^ — ^-7^'sin*.r i 7 ,' ^ -'sin^ar-i-... 1

cos m^ = cos (2 AT -4-1) ( I cos*.r H ^ — 5—— cos*.r — ... )

±msin(2/r-|-i) — cos.r 5- cos* a: -4- o / ^ cos* a; — .. . h

sinm;r = sin(2/r-hi) i cos'^cH ^^ — =-7^ cos^ar-r-;.. . )

, , . mir r m» — I , (m» — i)(m' — q) . 1

inmcos(2/lr-|-i) — cosjc 5- cos* or -h' ^ / t^ cos» a; — . . . h

la forme même de ces séries donne lieu à une vérification qu'il est bon de faire remarquer. D'après les explications qui ont été données relativement au sens qu'il faut attribuer au premier membre pour une valeur donnée de k, si l'on nomme a le plus petit arc, positif ou négatif, ayant pour sinus sin x, on a

cos ma = I — m'sm'x -\ ^ — 5— ?-'sin<^ — . . .

sin/na=: m sm x — ^ 5- sm'jr-h ' , ^ ^ sin^x — ... ;

on a de même, en nommant a! le plus petit arc qui ait pour sinus cos o^,

m^ , mVm^— 4)

cos mot! =1 I cos' 07 H ^ — 5—?-' cos*:r — ... ,

sm ma' =r m cos ^ r- cos*a:-t-,. . )•

Les quatre formules deviennent, d'après cela,

cosmar = cos mien cos ma zt sin mlciz sin ma = cos [mkn±ma ), sinm^ = sin mkn cos ma ± cos m A-tt sin ma = sin(mfrw± ma),

cos mj7 == cos ( 2 AT -h I ) cos m a' ±: sin ( 2 A" -h I ) — sm ma! = cos ( 2 A -+- 1 ) — ipma' L

/f .mit , ,, . mic , , .r, » .mit T

smm^=sm(2/f -M) — cos ma' ip cos (12A' 4- 1) smma' = sm (2A--hi) — qpma' ,

les signes supérieurs correspondant au cas où le nombre entier k est pair, et les signes inférieurs au cas où il est impair. Or Texactitude de ces dernières formules est évidente; a étant en effet le plus petit arc dont le sinus est sin a?, Tare x a pour expression kn ± a, le signe -h correspondant au cas où k est pair, et le signe — au cas où k est impair. De même, a' étant le plus petit arc dont le sinus est

cosic, ( îA -h i) ~ q: a', est la valeur générale de l'arc dont le cosinus est cos x^ les

formules précédentes peuvent donc être écrites à priori, et font voir que les formules particulières d'Ëuler comprenaient implicitement le développement général donné plus tard parPoinsot.

299. Développement de — - — suivant les puissances de tango;. — En posant

sin TÏ13C "*

tanga7=:j^, la fonction ;;7--devient sin (m arctangy) (i-hy*)». Or on a (156)

pour xr=o,

c^'"'sin ( m arc tang x) [i'\-x^y

- dx''" "" '

rf»"-^* sin(marctang^) ( I -l-x')» , v„ , s, . , , ., ^

ux

et, par conséquent, le théorème de Maclaurin donne

. / v/ ov*^ mim — i)(m — 2) , sin ( m arc langj) (\-hy^y=^mx ^ '-^ y^

[mim — I ) ( m — 2 ) m lang x ^ ■— lang' x

Dans cette formule x désigne le plus petit arc dont la tangente est tang x. On trouverait de même, k l'aide des dérivées calculées (157),

cosmx

[mim — i) , mim — i)(/n — i)im — 3)^ ^ 1

I i^ ^tang'^H ^^ Y~r ^tang*^— ... •

Les formules générales relatives au cas où x est l'un quelconque des arcs qui ont pour tangente tang x, peuvent se déduire de celles-ci. Si en effet a est le plus petit

arc ayant tango? pour tangente, les autres sont de la forme kn + a, et par conséquent les valeurs générales de sin mx et de cos mx sont,

sin mx = sin ma cos mkt^ -I- sin mhn cos ma , cos mx = cos moi cos mkn — sin ma sin mkic .

300. Développement de arc tang x. — Nous avons trouvé ( 146) que pour x= o on a généralement :

rf*" arc long x

(/>»+• arc langjr . « x/ x

on en conclut, d'après la formule de Maclaurin,

x^ x^ x'' ( I ) arc lang x = x — -^-h -r f-...,

et comme on a trouvé aussi ( 144), en posant arc tang x = u^ ^ —u = y,

^"■^' arc langer ( i .2.3. . . n)(— i)" . , , ^ , v . / x . ^.

^^^, " = 1;:^^; ^sm(/i-|-i)j=i.2.3...n(— i)"sm(/i-Hi)jsin''-^'^n

le terme complémentaire est

-;;:p; sin(/i-hi) (- — arc UngBxy

Or, pour des valeurs de x comprises entre — i et -f-i , —, tend vers zéro

lorsque n augmente, et par suite la série ( i ) s'applique à toutes les valeurs de la variable, comprise entre ces limites.

301. Développement de arc tang {x-h h). — En appliquant la formule de Taylor et faisant usage de l'expression de la dérivée qui vient d'être rappelée au paragraphe précédent, on trouve

( I ) arc lang( x-|-A)=arc tang x-f-Asin'/ sin*j-sin 2^-+— 5- sin^/sin 3^* — j- sin*^'sin 4.>'-f-. . .

Cette formule donne plusieurs conséquences remarquable^. Si l'ony fait A = — x^ on obtient

0 = arc tang X — x sin*j sin*/ sin 2 j — -^ sin' j sin 3j — . . . ;

mais de l'équation arc tango? = - —y^ on déduit

X = col j, et par suite A = — col^, et l'équation précédente devient

, , TT . cos'rsin2r cos'rsinSr cos*rsin4r

(2) - — 7= sinj^cos jH ^-^ -^ -\ ^-g ^ H î^-7 — ^ -h. ...

Si dans la même formule ( i ) on fait A= — j?— - = — tanc m — cot u = : — î »

^ ' X ^ smjcos/

on aura

arctang(:c-i-yi) = arctang = harctangxnr — y,

et par suite la formule (i) devient

on en déduit

îT sin j \^ sm2j j^ sin 3 j

^ 2 " COSJ 2 cos'/ 3 COS» J ' " * '

TT sin j 2. sin 2 j ^ sin 3 j

2 cos y* 2 cos^y* 3 cos^^*

Si l'on suppose enfin

rosw sinj

on aura

arc tang (.r -h A ) = arc tang {x — ^i -h x^} = arc tang [ v'i -+- x^- (sin m — i)]

sin M — I . I — cos r . . i i

arc lang = — arc tang — : *^ = — arc tang. tang -r = v,

° cos M " sin^' " ° 1'^ 2'

et, par suite,

d'où

— - = y — sm j sm 2j — 5 sm 3j — . . . ,