Développement de (arcsino:)*. — On a trouvé
(f*".(arcsin^)2 , /, / >,
rf*»+'.(arc sinx)'
on en conclut
. . ,, , 2 X* 2.4 ^* 2.4.6 JT»
Il est bien entendu que dans cette formule, comme dans la précédente, arc sin x désigne le plus petit arc dont le sinus est Xy celui qui s'annule pour a? = o et reste
compris entre ^^^ et — -- ^ 22
304. Développement de X coi X. — D'après les valeurs trouvées pour les dérivées de X cota?, quand on y suppose a? = o, le développement de x cota; est
x"^ X* 2ar« X* 20:'*
X col X = 1
La loi des coefficients résulte des formules (147) qui permettent de les calculer successivement; mais leur expression se rattache,' par une loi que nous ferons connaître, à une suite de nombres fort importants qui sont connus sous le nom de nombres de BemouUi.
305. Développement de -——- En se servant des résultats donnés (150), on
trouve immédiatenient
Les coefficients de — 9 5-7» ^-t-^-?»"' sont nommés les nombres de
Bemoulli; nous les étudierons dans un chapitre spécial. En les désignant par
B<, Ba, Ba,..., on a
X JT B. j Ba ^ B3 g
Nous nous bornerons à remarquer que le développement de -i^— permet d'effectuer celui de -- — et celui de —^ : on a en effet
X nx
€*-{- 1 e* — I éf"— I et, par conséquent,
- =,f :HB.f!-B.-^^.B, "•
^ (2.r)' ^ (2rV 1.2 1.2.3.4
c'est-à-dire
er'-hi 2 2 ^ ' J.2.3.4 1.2.3.4.5.6
On a aussi
e'-hi ^ e^-l-i I 2!^ 240 4^320
306. Le développement de x cota? permet de développer sans calculs nouveaux plusieurs autres fonctions liées à celle-là par des relations simples. On a
lan^.r = colx" — 2C0l2.r,
coséc X = tang - -h col x\
par conséquent, si Ton pose
.r colx = i — A,J7' — AiX*— Aoor' — Ap.t' —
On en déduira
tangjr = A, (22 — i)X'\-Ai{i* — i)jr^-|- A«(2« — i)a:*-f-. . . ,
I * Û^ oc^ x^
On a enfin
d\ sinx
— -z = colx.
dx
La fonction l étant paire et nulle pour a? = o, on peut poser
I ^^ = C,:c'-i-C»jc*-HCfl^*-h...;
on aura, en prenant les dérivées des deux membres,
COl^ =2CîX-h4C4^-|-6Ce^*-h. . .,
et en remplaçant cota? par la série qui le représente, on en déduit
CAj f^ ri.^ ^ Ag
5 = 5 L«« = "^ ~7* 9 y^i = — TT ' * • ' '
et, par conséquent.
sin:r A, A4 . A.
