i dx^ or on a

mais cette expression est égale au produit de la série

par le polynôme

OÙ Sp est la somme des produits/? à/> des /i premiers nombres entiers. En formant le produit par la méthode ordinaire de multiplication, on voit que le coefficient de a" est

H S,la:-f.^(ljrf-h...H ?= [\x)\

Telle est donc la valeur de — ,\ ^ > et il serait beaucoup moins simple de Tobtenir directement.

308. Nous ferons connaître enfin une formule élégante à laquelle conduit le théorème de Taylor pour exprimer la dérivée d'ordre quelconque d'une fonction de fonction. Soit y = ç(m) une telle fonction, u étant une fonction donnée de x; si Ton attribue k a? un accroissement A, l'accroissement correspondant de y est représenté, d'après la formule de Taylor, par

dx dx^ 1.2 dx" 1 . 2 . . . /i

Soit k l'accroissement correspondant de w, l'accroissement de v, c'est-à-dire de 9 (a), est représenté aussi par

^ du du^ 1 .2 du" 1 .2. . .n

On a d'ailleurs, en appliquant toujours le même théorème, , du , d^n A* d^u h"

dx dx^i.2 '*' dx* i.2,../i

En remplaçant k par cette valeur dans la série précédente, et égalant les deux

valeurs trouvées pour Ay, on a

(^fi-h — —-h V w^ rf"r A" ^dPff \dx dx^ 1.2 *" /

^ dx^ I . 2 . . . /t ^ duJf 1.2... p

Si, dans le second membre, on développe la puissance jo'**"* d'après la formule connue pour la puissance d'un polynôme, on a enfin, en égalant les coefficients de A" dans les deux membres,

(duy, ( ^ ) ( ^-^ )

rf\r yi « dP(f{u) \dx) \ 1.2/ \ 1,2. 3.. ./y?/

dx" ^ rfi//» 1.2... Al 1.2... A, 1.2.3... A«

A,, ^2»- "î ^w devant prendre toutes les valeurs telles que

A. H-2 Aa-h. . .-h /wA«= n, et/> étant égal a A< -h A^ -h. ..-h A;„. Si, dans cette formule, on suppose u = a?^, on aura -j- = aa?, ^-^ = a, et les

dérivées suivantes étant nulles devront avoir pour exposant zéro; la formule se réduit alors a

dx^