CHAPITRE III

Série de BernoulU.

309. Jacques BernoulU a fait connaître, dès Torigine des nouveaux calculs, une série applicable, comme celle de Taylor, au développement d'une fonction quelconque, et qui peut d'ailleurs très-facilement s'en déduire. Si dans la formule

F(:r-|-/i) = F(^)-hAF'{jr)-h^F"(^)-h...,

on pose A = — 07, on en déduit, en faisant passer dans le premier membre tous les termes autres que F (or),

Les coefficients des diverses puissances de x étant ici des fonctions de la variable x elle-même, cette série est d'une forme très-différente, et en général beaucoup moins utile que la série de Taylor.

Nous nous bornerons à indiquer une application.

Soit

F ( .r ) = ( JT -H rO" , la formule de BernoulU donne

{ ?. ' i X -^ af =^ a" -\- nx Ax -\- a )"-' x^{x-\-a Y'^ — ....

Cette série peut d'aiUeurs s'obtenir à l'aide du binôme de Newton : on a en effet

(3) rt"=(ûr-4-.r — x/' = (rt-hjr)' — nx[a-\-xY-' -h - ^ "^ '^^ [a -f xY~\

et l'identité des formules est évidente.

310. On a choisi l'exemple précédent, parce que la formule trouvée donne un moyen assez commode de calculer très-exactement la valeur numérique de certaines racines. En divisant l'équation C3) du paragraphe précédent par {a-^-xfa",

on en déduit en effet

I r nx n.n — î x* n(n — \){ri — ->.) .r' 1

Cette série peut être employée avec avantage pour le calcul des racines irrationnelles d'ordre quelconque.

On décompose le nombre {a-hoo), ou son multiple par une puissance de même ordre, en deux parties très-inégales, dont Tune a est la n""" puissance d'un nombre entier.

Par exemple, si Ton veut calculer y a , on prendra

5o = 5* . 2 = 49 -H » = 7' -H » » d'où

5 v^= v^49TT.

Posons en conséquence

nous aurons