o 2.4 5o^ 2.4-6 5o et
série très-convergente et dont le calcul numérique est facile.
En effet, on a, en convertissant les termes entre parenthèses en fractions décimales,
résultat dont les vingt décimales sont exactes.
Si Ton veut déduire de la même formule la racine cubique de 3 , on remarque que l'on a
2 v/3 =^ V M = v^ 27 — 3 , et par suite, en posant 0 = 27, ^r — 3, n^— ^1
et
On pourrait encore obtenir des séries plus convergentes, par exemple, 9^3 = V2187 = v^i3' — 10,
^ 9 \ 3.2187"*" 3.6.2187^ 3.6.9.2187=^"^* /' série extrêmement convergente, le rapport d'un terme au précédent étant < -^• Le calcul numérique de ces termes donne
on a donc
J'3 = 1 ,44^^4 9^703 074 exact à 1 3 décimales.
Formule de La grange.
31 1 . Soit z une fonction de a et de ;r définie par Téquation
z est développable en série ordonnée suivant les puissances de x, et la formule de Maclaurin peut fournir, comme pour toute autre fonction, les termes successifs du développement. Le problème n'a donc rien qui le distingue essentiellement de ceux que nous avons déjà résolus, mais il est remarquable par l'élégance du résultat auquel il conduit et que l'on peut obtenir par ptusieurs méthodes. Remarquons d'abord que, u désignant une fonction quelconque des deux variables œ et a, on a, quelle que soit la fonction désignée par le signe F,
en effectuant les différentiations indiquées, on trouve, en effet, que chaque membre se réduit à
du du „ , . rf' u
dx da da dx
On pourrait encore démontrer la formule (2) en remarquant que F (a) y- et F (m; ^
sont respectivement les dérivées par rapport a a? et par rapport à a d'une même fonction © [u) telle que 9' [u] =Y iu), et l'équation fa) équivaut alors à
rf'<p d
dxdd dadx Cela posé, reprenons l'équation
en désignant par u une fonction quelconque de j;.
On a, en vertu du théorème de Maclaurin^
\dx)t i.ii\dx^)t I .2. . /l \ rfjT" /,
(j") ' \'3~^) ""' (5^) ' ÎTïdiquant les valeurs que prennent les dérivées de u par rapport à x, lorsqu'on y remplace, après la différentiation, x par zéro. Ces dérivées doivent se déduire de l'équation (i) qui définit la fonction z, et la méthode générale, applicable à toutes les fonctions implicites, permet de les calculer successivement; mais remploi de la formule (12) simplifie notablement les calculs en permettant, comme on va le voir, de remplacer les diiîérentiations par rapport à x par des difîérentiations par rapport à a: l'avantage de cette transformation est évident, car lorsqu'on difTérentie par rapport a a, a: est traité comme une constante, et il est indifférent de le supposer nul avant ou après les opérations. Or l'hypotlièse x=o donne z = a, et les différentiations indiquées portent alors sur des fonctions explicites et données de la variable a.
On déduit de l'équation (i)
dz , , , , .dz
3 dz (p(z)
^ ^ dx" i-^(p'(z)'
On déduit delà même équation (i
par conséquent,
dz ,, ^dz
da I — xi^' [z)
La comparaison des formules (3) et (4) donne /rx dz . .dz
En désignant par u une fonction quelconque de z, on aura
du du dz
dx dz dx
du __ du dz da"^ dz da\ 1. 40
et par conséquent l'équation (5) entraine
,^. du . . du
Calculons maintenant ^-^j jt'"^ ^^ cherchant toujours, comme nous Tavons
annoncé, à remplacer les différentiations par rapport à x par des différentiations par rapport à a. On a
d'u__ d [du\ d [ dul
et, en vertu de l'équation (2) ,
^') d7^^TaV^'^diy
Si l'on représente a, qui est une fonction de z, par/(2), on a
di-^^'^di'
et l'équation (7) devient
d^u d [ , .^,. .rfz"l d V . . .,. flz'\ d V . ^du
on en déduit
d'u __d d^d d^V diÇA d d^V diTX
dx'- dxdx^ ^ dx dal^^''^ da\ ~ dadi[^^^^' da}'
et, en vertu de l'équation (2),
La loi générale s'aperçoit aisément, et l'on est conduit à écrire
Pour démontrer cette formule, supposons que l'on ait déjà trouvé
'« rf"-2 r , , din
dx
on en conclut
rfo:" rfa""
et, en appliquant successivement les formules (2) et (6),
Pour calculer les dérivées ^» jt"'' j-rloï'sque Ton suppose ar = o, il suffit
d'introduire cette hypothèse dans les valeurs que Ton vient de trouver, et comme toutes les différentiations sont prises par rapport à la lettre a indépendante de x, il est permis de faire x = o avant d'effectuer les opérations; on aura alors
z =a, ^ =/' (a), et la formule (8) donne
le développement de u, c'est-à-dire de/ (2), est par conséquent
Cette formule très-élégante, qui a été donnée pour la première fois par Lagrange, est connue sous le nom de Formule de Lagrange.
312. Laplace, à qui est due l'ingénieuse démonstration que nous venons d'exposer, a présenté le théorème de Lagrange sous une forme plus générale, mais la formule qu'il a fait connaître se déduit si facilement de la précédente, qu'il semble inutile de la désigner par un nom différent. Supposons que l'équation (1) du paragraphe précédent soit remplacée par
(0 z=rF[aH-^(f(2)],
et cherchons à développer une fonction/(5) en série ordonnée suivant les puissances de x\ posons
on aura
et par conséquent, en vertu de l'équation (2),
Le problème revient alors à développer /[F (/)] en série ordonnée suivant les puissances de a?, ce qui est une application immédiate de la formule de Lagrange; on a ainsi
