L'équation

(i) z = a-h Xif{z)

a, en général, plusieurs racines. Quelle est celle à laquelle se rapportent les formules précédentes? Cette question est délicate, et plusieurs géomètres célèbres l'ont traitée sans se trouver entièrement d'accord. Ce n'est pas en ce moment que nous pouvons la résoudre complètement : nous nous bornerons, dans ce chapitre, aux indications suivantes.

La série

représente évidemment, poura? = o, la fonction /(a) qui correspond à la racine 3 = a, et comme cette série est une fonction continue de Xy si pour chaque valeur de cette variable on partage les racines de l'équation en deux groupes, dont l'un comprenne celles qui sont plus grandes que a et l'autre celles qui sont moindres, la racine à laquelle se rapporte le développement est évidemment, pour de petites valeurs de x, la plus rapprochée de a parmi celles qui appartiennent au même groupe qu'elle, et toute la difficulté consiste à savoir si cette racine est plus grande ou plus petite que a. Or on

z —a=zxf{z)y

et en supposante? infiniment petit, z diffère infiniment peu dea, et^ — a est de même signe quexo (a). Si donc y (a) est positif, z — a est de même signe que x, et le contraire a lieu si o (a) est négatif.

La même règle s'applique lorsque x prend des valeurs croissantes. La racine variant d'une manière continue, restera toujours dans le groupe où elle se trouve placée d'abord, car <p (a) n'étant pas nul, z ne peut devenir égal k a pour aucune valeur de x autre que zéro. La série représentera donc une racine connue jusqu'à ce que l'une des deux circonstances suivantes se présente.

La série (2) cesse d'être convergente.

X acquiert une valeur telle, que les deux racines les plus voisines de a parmi celles de même groupe qu'elle deviennent égales entre elles.

Dans le premier cas, la série ne représente plus rien, et lorsque le second s'est présenté, x continuant à croître, la continuité ne suffit plus pour indiquer celle des racines qui succède à a par une variation continue. En général, d'ailleurs, les deux racines deviennent imaginaires après avoir été égales, et ne peuvent, ni l'une ni l'autre, être représentées par la série (a), qui, comme nous le verrons dans un autre chapitre, devient alors divergente.

Seconde démonstration de la formule de Lagrange.

314. La démonstration de la formule de Lagrange que nous venons de donner, est celle de Laplace. Quoique directe et élégante, elle exige des tranformations successives qui la rendent moins simple que celle que nous allons faire connaître et qui est due à Jacobi.

Lorsqu'une fonction 9 {œ) devient infinie pour a?= o, elle n'est pas développable parla formule de Maclaurin, mais elle peut, en général, être développée en série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de la variable et de la forme

A 4- A, j; -h Aior' -H. . , -h A, a;* -h . .. B| B] B«

Lorsque cela a lieu, la dérivée 9' (a;) est représentée par la dérivée de la série précédente, c'est-à-dire par

A, -|-2A,j;4-. . .-|-nA„j:'^' -+-. ,.

B, 2B, nj,

et ce développement n'a pas de terme en —

Ainsi donc : Si une fonction est développable en série ordonnée suivant les puissances positives ou négatives de la variable ^ la dérivée de cette fonction est développable

en série de même forme dans laquelle manque le terme en -•

Cela posé, considérons l'équation

Soit

(2) /(2)=r:/(rtf)-|-A,^-|-A,JC»H-.. -|-A«j:«-|-...,

A, , Aa,..- A„, étant des fonctions de a indépendantes de jc; prenons les dérivées des deux membres par rapport à z, en considérant a comme une constante, et divisons par af les deux membres de l'équation obtenue, nous aurons

f ' ( 3 ) Aidx 1 Kl dx nAndx, , . . dx

■l^Tz^lF^Tz-^---^^Tz^^''-^'^^'-'Tz-

nu, en remplaçant dans le premier membre a; par sa valeur déduite de l'équation (i),

(i\ f'i')f{2Y A, dx aA, </x nA,dx <ir .

Développons actuellement les deux membres en séries ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de z — a, et égalons les coefficients de — — dans les deux développements. Si l'on pose

on a

Pour obtenir le développement du premier membre de l'équation (3), il faut diviser chaque terme de cette série par {z —a)", le coefficient du terme en — — est donc

Si l'on développe les divers termes du second membre de l'équation (3), on voit, d'après ce qui précède, qu'un seul d*entre eux, — -"^9 donnera un terme en ^j-- Considérons en effet le terme général

fxA

dx

^ x"'^"^^ l^ — n di

OÙ fJL désigne un nombre entier quelconque différent de n. x^~" est en général développable suivant les puissances positives ou négatives de 2 — a, car si fjL surpasse n, cette expression est nulle pour z = a, et si |x — n est négatif, le produit

a pour 5 = a une limite finie égale, en vertu de l'équation (i), à ? («)" ^9 et ce produit est en général développable suivant les puissances de (z — a). En divisant tous les termes par [z—aY"^, on aura le développement dea:^""", qui renfermera des puissances positives et négatives de [z — a)\ la dérivée par rapport à z ne contiendra donc aucun terme en

Quant au terme

. dx

""^"Tz , d\,x

X dz

on a

Le raisonnement précédent n*est donc plus applicable. On a, en vertu de Téquation (i),

*tr ——

dz z— a dz

l.f (z) a, pour z:=r.a, une valeur finie. On doit donc, en général, le considérer comme développable en série ordonnée suivant les puissances de z — a , et la dérivée — ^-^ ne contiendra, par suite, dans son développement aucun terme en — [— -, le développement de —7^ ne contiendra donc qu'un seul terme de cette espèce, et le coefficient de ce terme est l'unité.

En égalant les coefficients de —3- dans les développements des deux membres de l'équation (3), on obtient d'après cela

et par conséquent

__ r rf— .[y(a)"/(fl)]

^-~' 1.2.3. .n da-^

ce qui démontre le théorème de Lagrange.

L'absence de rigueur est trop évidente dans la démonstration précédente pour qu'il soit nécessaire d'insister sur ce point. Nous ne pouvions pas cependant passer sous silence ces considérations aussi élégantes qu'ingénieuses qui, comme le remarque expressément Jacobi, tiennent de fort près à la Théorie des résidus y de Cauchy, qui sera exposée dans un autre chapitre.

Applications de Icu formule de Lagrange.