I -hx

et en chassant le dénominateur pour égaler les coefficients des mêmes puissances de X, on trouve

I ^ Lu y Lu =^ Lia j L<| = L13 9 Lij ^ C4 , . . • )

le déveteppement est par conséquent

(i) («-t-^) [i-hx*){i'^x*){i-hx'). .. =i'i'X -hx^-hx^-^x'-h

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en remarquant que le second membre représente ^ et que l'on a identiquement

I l+X (l-{'X){l-hX^) {i-i-x){i-\-x'){i-hx*}

l — X 1 X* I X* I — JT'

ce qui, en supposant â? plus petit que 1, donne évidemment pour limite la formule (j).

330. Nous rapprocherons des résultats précédents une. formule très-remarquable due à Euler, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de X, le produit infini

Si l'on désigne ce produit par S, on a évidemment

Désignons par — A l'ensemble des termes qui suivent les deux premiers, c'esl-àdire posons

K = x\\ — x)-\-x'(\ — x)[i — x')-^x'[i — x)[\-^x^)[\'^x^)'Jt-...,

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par (i "-^;,

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

Posons

et par suite

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par i — x-,

Bz=x'^x*(i — x^)-\-x''(\—x'){\ — x')-^.. .

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

Posons

B = :r' — jr" — G,

et par suite

que l'on peut écrire, en effectuant la multiplication dans chaque terme par i — ar\

— JT" - X" ( I — a:^ ) — x''* ( I — ^* ) ( I — :r* ) . . . ,

et en réunissant les termes qui contiennent actuellement en facteur la même puissance de x^

C = ^' ' — a:'« — a:» ( I — ;c< ) — :i:»« ( 1 — JT* ) ( I — a:' ) —

Si l'on pose

on pourra transformer D comme on a transformé A, B et C, et en extraire deux termes

et en continuant ainsi indéfiniment, on trouve

Les coefficients sont alternativement -h i et — i ; quant aux exposants, pour en trouver la loi, il faut les considérer d*abord de deux en deux, c'est-à-dire porter son attention sur les premiers termes des groupes de deux, successivement extraits de produit; or on voit que dans la suite

2, 7, i5, 26, 40,.. 1 les différences sont

5, 8, II, i4,...,

progression par différence dont la raison est 3; il est facile d'en conclure que les exposants sont contenus dans la formule

On verra de même que les exposants

sont contenus dans la formule

et la formule cherchée est enfin

et, cette loi une fois connue, on vérifie bien aisément que les termes successivement fournis par le mode de raisonnement employé y sont constamment conformes. J. 42