Puissance n'*'"* d'une série. — Soit

( I ) flfl -h a, ^ -h <2, j?' -h . . . -h a^ JT/* -h . . .

une série convergente. La méthode des coefficients indéterminés offre le moyen le plus rapide de calculer les coefficients de la série qui en représente la puissance n'^'"*'.

Posons en effet

(2) (ao-h«|a;-h«,^^.. 4-a;,a7''-|-...)"= Atf-f-A,:t-f-A,jr»4-. -.,

on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres,

(3) /i(a, -ha, :r +...-+- apa:P,.,Y-* [ax-^ia^x...-^- pal' xP"^ -h...)=-^i -+-2A,jr4-3A3X'-}-....

En divisant membre à membre les équations (2) et (3)^ et chassant les dénominateurs, il vient

{a«-f-a,x-|-aa.r*-f-. . . )(Ai-h2A,^-i-. . . pXpXf^^ -h' . •) = /i(û, H-aaiO;. . . -^pa^xP-^ 4-. . .)(Ao-h Aia:-h A,x'-|~...-hA^x/'-h. . .).

En effectuant les multiplications indiquées et égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x, on obtient les équations suivantes :

Aiûo = /lAfl «1, Aifli -h 2Aja« = 2 n A,aa -H /lAia,, A, a, -h aAjû, -h SAsûo = SnaaA, -h 2/iaaA,4-«ai A,, A,a3 -f- aAaflj -h 3Asa, -\- ^k^(u = ^na^kt -H Zna%k.x -h 2 n a, A, -+-/»«! A3,

on en déduit

. «Aafli . /ia,Ao . ('»—») A /laaA, , n{n — i) . ,

A, = j Aa= 1 A,a, = 1 5 — A, a, ,

a« ao 2^0 00 2a^

On pourra continuer les calculs aussi loin que Ton voudra et rattacher ainsi tous les coefficients les uns aux autres, en les faisant dépendre du premier Aq t qui reste seul inconnu. Or on voit en faisant a? = o que Ton a Ao=:a". Le problème est donc résolu.

Si l'on se donne, par exemple,

x" 3 , arc sm X = 07 4- -TT -f- 7- a:' 4- . ' . , o i\o

x^ ix* Ax*

( arc sin or )«= ^^ 4- j + ^ 4- ^ 4- . . . ,

ce qui s'accorde avec le résultai trotivé (303), mais la loi des coefficients serait difficile k obtenir de cette manière.

332. Nous devons donner ici un élégant théorème énoncé par Eisenstein et démontré de la manière suivante par M. Sylvester.

Lorsqu'on a formé les puissances entières et positives d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable Xy on peut en déduire facilement le développement d'une puissance quelconque.

Soit ( I ) M = A(, -h A, X H- At j:' -H ... -h A^x" H- . . . ,

on a

i^'>=:[A,H-(£^ — A,)]-=A;4-mA;-'(^-Ao)4-'^^^~'U7'(«-Aer-f-...