Ar(.-A

la différence (m — Ao) contient a? en facteur, par conséquent (m — Ao)^ ne contiendra, toutes réductions faites» que des puissances de a; à exposant au moins égal à q. Si donc on veut chercher, dans le développement de m"", le coefficient de 07*, on pourra négliger tous les termes de l'équation (2) dans lesquels l'exposant de a — Ao est supérieur à un nombre arbitraire n' égal à /i ou plus grand que n, et si l'on désigne par B;„,„, le coefficient de cc^ dans le développement de m*", on aura

B...==mA;-' B(.,„) -h 2^-^^Ç-^^ ^r' (^^

m (m — i)...(m — n^H-i) . «-«' rp «/ 4 p -+- „/ 4«'-' n i

H ^ rm — 7P • V^('^.H) — n Aoll(,'-,.i,)...it:/i A^ »(,,„)],

et n', dans cette formule, est assujetti à la seule condition de n'être pas inférieur à 71. Le plus simple sera de supposer n' = n.

En adoptant cette supposition et réunissant dans le second membre les termes semblables, l'équation (3) prend la forme

D n A-i-if / X [in — i)(m — 2) , (m — i)(m — 2). ..(m — /i4-i)1

mJjn-iYjn—^ >a— P. i^ ,, , (m— 3)(m-4) ^(m-3)...(m-«+01

OU, en sommant les coefficients placés entre parenthèses^

Si dans cette formule on fait m = — i , on obtient le coefficient de a;" dans le développement de - et Ton vérifiera aisément qu'il coïncide avec celui qui résulte de la formule (320) déduite par M. Cayley du théorème de Lagrange.

333. Formule de Stirling.^^ous déduirons encore de la méthode des coefficients indéterminés quelques développements célèbres qui seront utilisés dans la suite, après avoir été démontrés d'une manière plus rigoureuse.

La formule de Stirling, que nous allons faire connaître, est de la forme suivante:

Pour que les deux membres soient identiques, il faut et il suffit qu'en les déve* loppant suivant les puissances de A, on obtienne de part et d'autre les mêmes coefficients. Cette condition fournit les équations

A,=o, A A3 = o, 5—7 Aj = o,...;

ces équations donnent

Ai = — j A,^ » Ai=^o, A4 = —

Pour déterminer l'expression du terme général, remarquons que les équations qui déterminent Ao» A|, A2,...» sont indépendantes de la forme de la fonction 9.

On peut donc poser <p (a?) = e*, et les coefficients relatifs à cette hypothèse conviendront dans tous les cas. Or l'équation ( 1 ) devient alors

e'fe* — î)=/ie'-HA,Ae'(e*— i)-f-A,A^e'(e^— i)-h. . . , c'est-à-dire

-j A__ = i A,A— A,A» — AjA^ ,

d'où l'on conclut (305)

Aj,H-i = o> Ai«=( — i)

on a, par conséquent, pour une fonction quelconque

9(^+/l) — ^(^) = Aç'(^)H-^[t'(^H-/1)— ^'(j:)]— ^[fM^-hA) — f"(^)]

Cette formule a d'importantes applications, que nous étudierons dans un autre chapitre, lorsque nous pourrons faire connaître les conditions de la convergence et les limites de l'erreur commise en s*arrétant à un terme donné.

334. Formule de M. Boole. — M. Bople a fait connaître une formule analogue à celle de Stirling, qui s'obtient facilement, comme la précédente, par la méthode des coefficients indéterminés; elle est de la forme

En égalant, comme dans le cas précédent, les coefficients des mêmes puissances de A, et remarquant que ç'(a?) est facteur commun dans ceux de A, f"{x) dans ceux de A*^, et ainsi de suite, on a

De ces équations on déduit

Ai = — î Aj = 0, A3= 7> •••

Pour trouver l'expression du terme général, remarquons, comme dans le cas précédent, qu'il est permis, sans changer les coefficients cherchés, de faire une hypothèse particulière, y (a?) = e* par exemple ; l'équation J[ i ) devient alors

e'(e*— i) = A,Ae'(e^H-i)-hA,A'e'(e^4-i)-h..., c'est-à-dire

et par conséquent (305)

A, = -9 A,= o, Aj = 79 A< = o, A6=— T-î A,=:o, \jt= J ,• '

Si Ton pose [x + h)=y, l'équation de M, Boole devient

335. Formules de M. Tchebitchef. — La méthode des coefficients indéterminés a conduit M. Tchebitchef à plusieurs séries fort remarquables. Supposons que l'on connaisse un développement en série de la forme

Proposons-nous d'en déduire le développement de/ (i) en série de la forme

Ce problème, dont les applications semblent au premier abord très-restreintes, a cependant une véritable importance. Pour le résoudre en général, et déterminer les coefficients A,, A,,..., A;,^ qui» l'équation (2) étant admise, sont indépendants de la forme des fonctions qui y figurent, remplaçons dans l'équation (2;, F(i), F (2), F (3),... parleurs valeurs déduites de l'équation (i), quand on y

suppose successivement x= i, a? =2, a? = 3, On obtiendra une équation de la

forme

à laquelle on satisfera évidemment en posant

on forme ainsi les équations

A, == I , o = Aj -h I , o = A3 4- 1 , O =: A4 -h Aï -h I , et l'on en déduit

Ai = i, Aa = — I, A3= — I, A« = o.

La loi générale est la suivante :

Si n est premier, on a A„ = i . Si /i est le produit de plusieurs facteurs premiers différents et en nombre *, oi a A„ = (—1)*. Enfin lorsque n contient deux fois le même facteur premier, A;, est nul.

La démonstration de ces trois théorèmes est fort simple. Si n est premier, le second membre ne contient que deux termes en/(/i), qui proviennent de A,F (i) et de A„F (n), en sorte que l'on a

o = Ai-hA„,

et comme A^ = i , on conclut

Si Ton a n = pqrs... kl, p, q^r... k, /, désignant des nombres premiers différents, le coefficient de/(/i) dans l'équation (3) est la somme des coefficients A, dont les indices sont les diviseurs de n. Or on peut partager ces termes en deux groupes: ceux qui ont pour indices des diviseurs du produit pqr...k, et ceux dont rindice contient le facteur /. La somme des premiers est nulle, parce qu'ils forment

le coefficient de/ ( j j, déjà égalé à zéro ; il reste donc

A/ -h Api -4- Ay/ -I- ... -h Ad/ h- ... 4- Apqr..M = o ,

D désignant un diviseur quelconque du produit pq...k. Mais si Ton admet le théorème démontré pour les coefficients dont les indices ont un nombre moindre de facteurs, tous les termes de cette équation sont précisément égaux et de signes contraires (sauf le dernier), a ceux de l'équation qui exprime que le coefficient de/{pqrs...k) est nul. Les derniers termes de deux équations doivent donc être de même égaux et de signes contraires; on a donc

et par conséquent, lorsque le théorème est vrai dans le cas où n contient moins de n facteurs, il est vrai aussi lorsqu'il y en a /i.

Supposons enfin n = a/?'", /i étant premier et diflerent de. l'unité. En égalant a zéro la somme des coefficients dont l'indice est diviseur de a/?"*, on trouvera d'abord ta somme de ceux dont l'indice est diviseur de a, et cette somme est nulle, puisque le coefficient de /(«) doit être'égalé a zéro dans l'équation (3). De même les termes dont l'indice contient une seule fois p en facteur, ont une somme nulle, comme on le voit en écrivant que le coefficient de/{ocp) est égal à zéro. Il en est de même de ceux dont l'indice contient p^ en facteur, et ainsi de suite, en sorte que l'équation se réduit à

A^ -h A^^pm -h Aj^^pm -f- • . . -h A^^m == O ,

Df, D,..., désignant les diviseurs de a. Si donc on admet que A„ soit nul toutes les fois que n est le produit de p^ par un nombre moindre que a, il sera nul nécessairement pour 71 = a/?"*, ce qui démontre le théorème, car il est bien facile de le vérifier pourn=//".

Pour appliquer le théorème précédent, considérons la formule évidente

a'— I on en conclut