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FÉREI

on a aussi

af a^

Zx '

X TlX

on en conclut, en cherchant la valeur de pour a?= i,

l{i—a) l{\ — a}) /{!—«*) /(i — a*) /(i — a*) /(«—«') /(i — «'•) I 2 3 5 o 7 lo

et par conséquent

(i—a»p(i-rt»)'(i — «*)'(! — a')'(i—a")"(i — ««»)'' . . .

336. M. Tchebitchef a considéré également le cas où deux fonctions F [x) et/lx], sont liées par une équation de la forme

(1) ¥{x)=f(x}-hf{Sx)^f(5x)-\^..,.

On peut encore dans ce cas exprimer /(i) par une série de la forme

Pour trouver les coefficients, on remplacera dans le second membre F(i),F(3)..., par leurs valeurs déduites de l'équation (i), et en égalant à zéro les coefficients de /(3),/f5),/(7)..., et à l'unité celui de/(i), on aura

A,=:i, Aî-|-A,=:o, A5-hA,=:o, A7-f-A, = o, A»-i- A3 -h A, = o ,

En général, en désignant par n un nombre impair quelconque, il faudra égaler à zéro la somme des coefficients dont l'indice est un diviseur de n. On verra, absolument comme dans le cas précédent, que si n est divisible par un carré, on a A„ =0, et que dans le cas contraire, si n est le produit de k nombres premiers différents,

on a A„ = ( — i)*, et par conséquent la série ( i ) devient

Théorie des Jonctions génératrices.

337. La théorie des fonctions génératrices créée par Laplace a été exposée par lui dans son grand ouvrage sur le Calcul des Probabilités. L'autorité de son nom a contribué k faire adopter les définitions et les notations qu'il a employées; elles

sont aujourd'hui trop connues des géomètres pour que nous négligions de les indiquer et de faire connaître quelques-unes de leurs applications les plus simples.

Lorsqu'une fonction cp [x) est développée en série ordonnée suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et que Ton a

(p(j;-) = A, -h A, ^-+-A,.^='-h.. .-hA„.r"+...,

on dit que y {x) est la fonction génératrice de A„.

Ainsi, par exemple, e* est la fonction génératrice de — - — ^

Lorsque le développement de cp {x) contient des termes affectés d'un exposant négatif, la définition s'y applique sans difficulté et 9 (a?) reste la fonction génératrice de A;,, A„ étant une fonction de n qui, pour les valeurs positives ou négatives de l'entier n, représente le coefficient de af dans le développement. Lorsque la série qui représente y {x) ne contient que des puissances positives de x^ A„ doit être considéré comme égal à zéro pour toute valeur négative de n.

338. (f {x) étant la fonction génératrice de A„, "^-^ est celle de A„^p, et 9 {x)xP

celle de A^^p. Lorsque n — p est négatif, A„p doit être considéré comme nul, mais le théorème reste exact, car dans le développement de <p {x), les exposants de tous les termes sont positifs, et par conséquent dans celui de (p.{x).af ils sont tous plus grands que p.

On voit tout aussi facilement que 9 (a?) ( - — 1 J est la fonction génératrice de A«^i — A„ ou A A„ , et il en résulte que (p{x) ( ^ — i ) est celle de A^ A„, (p{x) ( - — M celle de A^ A„ , et en général rp[x) (- — 1 ) celle de A'' A„.

En combinant ce théorème avec le précédent, on voit enfin que f{x)xp(- —i) est la fonction génératrice de A^ A„^p.

339. Les remarques qui précèdent fournissent une démonstration simple d'un théorème remarquable relatif aux différences d'une suite quelconque de nombres.

Toute équation identique dont les deux membres sont des fonctions entières et

rationnelles de iP, - et (- — i | , reste exacte lorsque l'on y remplace les produits

de la forme xP i^ — A et — (^— M par A^ A„p et A^ A,,^.^ , A,- désignant un nombre entièrement arbitraire.

Multiplions en effet l'équation identique donnée, par 9, (a?) fonction génératrice de A„, et, après cette multiplication, développons en série les deux membres de l'équation qui, par hypothèse, sont identiques. Les coefficients de a?" seront égaux I.. 43

(le part et d'autre, et cela donne précisément le théorème énoncé, puisque (338)

ccP [ - —I I (f {x) est la fonction génératrice de A^ A„.,„ et 7 ( - — M ? (a?) celle

de A^A^^^.

340. Nous nous bornerons à citer les applications les plus simples du théorème précédent ; on a

/i \p \ 1 pip — i) I 1 1 = p h C-li- 1 f- • • • -H ( — 0'',

on en déduit

(2) A.+, = A.+;»AA„-+-^i^^l^^i'A,-<-... + A'A„.

Ces deux formules, faciles à démontrer directement, sont Tune et Fautre trèsconnues, et nous avons déjà eu occasion d'en faire usage.

La formule suivante, donnée parLaplace, a aussi une grande importance. Posons

Le théorème de Lagrange donne

Xf '^ 1.2 1.2.3

et comme d'après l'équation (3) on a « = 0? ( ' — 1\, cette relation a lieu entre j-, - et ( -— 1 1 ; le théorème général peut donc être appliqué, et donne

Dans cette formule, A^, A,..., A„, sont les coefficients des puissances de x dans le développement d'une fonction quelconque; ce sont donc des nombres quelconques se succédant suivant une loi arbitraire; A,, A^a»--» A^„..., sont également des nombres quelconques, car le développement At (f[x) peut contenir des puissances négatives de a?: on peut, si l'on veut, les supposer nuls.

La formule (i) donne

les termes dans lesquels l'indice de A est négatif devant être remplacés par zéro. Dans la formule (5), les facteurs A^,, A;,,,..., A^, qui restent les mêmes pour une valeur donnée de n, ont des multiplicateurs qui grandissent indéfiniment avec k. La série indéfinie formée par le second membre de (4) n'est donc pas convergente et doit être rejetée comme expression exacte de A;,^^, mais elle peut cependant donner une approximation utile lorsqu'on se borne à un nombre limité de termes. C'est une circonstance remarquable commune à plusieurs séries divergentes, et dont nous donnerons d'autres exemples. La démonstration de Laplace n'est pas propre à la mettre ici en évidence, et nous allons, pour cette raison, en donner une démonstration plus directe, qui nous apprendra sous quelles conditions elle est applicable.

La formule (4) devient, lorsqu'on y suppose /?= i,

Pour l'établir directement, remarquons que l'on a, d'après les définitions des différences,

A«+, =A.-+-aA,,

A^A„, = A'A„a-hA'A«,,

A* A„*^, = A* A«4 4- A*^- A„it,

et l'on en déduit, en ajoutant et supprimant les termes communs,

Si donc A*-*"*A^^ est très-petit, on pourra regarder la formule (6) comme exacte, en se bornant aux k -f- 1 premiers termes du second membre, et ne pas se préoccuper de la convergence de la série indéfinie.

En changeant /i en /i-f-i dans l'équation (7), on a

Or on a, en remplaçant successivement dans la formule (7), A^, qui est une fonction quelconque de /i, par AA„, A* A;,, A'A„,..., et en hnême temps n par n — i , /i— 2, /i — 3,...,

et par la substitution de ces diverses expressions, l'équation (8) devient

A«^,= A„ -f 2 A A„, -h 3 A'A„», 4- . . . 4-7rA*A,-H.-*4- R,

le terme R étant négligeable si les différences d'ordre supérieur à k" sont trbs-petiles. Cela posé, si Ton admet que la formule

soit démontrée exacte pour une certaine valeur de p, les différences d'un certain ordre étant négligeables, on peut prouver qu'elle est vraie, sous la même condition, pour la valeur immédiatement supérieure. En prenant en effet les différences successives de deux membres de l'équation (9), et diminuant à chaque fois l'indice n d'une unité, on a

aA„+^, = aA„.4-/?A'A,^,4-^^^^ A>A„3-h. ., ^ '^ 1.2

et en ajoutant ces équations, remarquant que l'on a

il vient, en ayant égard aux propriétés connues des coefficients du binôme,

la formule est donc générale.

341. Nous terminerons en indiquant quelques applications simples de la théorie des fonctions génératrices.

Problème. — Trouver une fonction de x telle que Ton ait

(1) F(.r4-/^)-HA,F{^-h/7 — i) + A,F(.r4-/? — 2)4-... a- X^V {x)=:o,

p étant un nombre entier donné et x une valeur quelconque attribuée a la variable. Remplaçons x par un entier arbitraire n, on devra avoir

(2) F(n-h/?)4-A,F(/i4-/? — 1)4-... 4- A^F{/O = o. Soit j la fonction génératrice de F(n), c'est-à-dire la fonction

(3) j=F(o)4-/F(i)4-/'F(2)4- . . . 4- r F(n)4- . •'. ; le premier membre de l'équation (2) est la fonction génératrice de

Pour que cette expression soit nulle, iKaut que dans le développement de la fonction (4) îl n'y ait pas de terme en t^; n désignant un nombre entier et positif quelconque, il faut que le développement ne contienne que des puissances négatives de i. D'ailleurs il ne peut pas contenir de puissances négatives dont le degré surpasse — />, puisque le développement de j ne contient pas de dénominateurs, et par conséquent on doit avoir

donc

^ Bg -H Y H- . . . + — Bo/f-^B,/P-'-h... 4-Bp •^""i^A. ^ ^. "" kpif-^ A^, //•- -h h I '

En développant y en série ordonnée suivant les puissances de ^ le coefficient de /•sera une fonction de n remplissant la condition demandée et contenant /?-f-i constantes arbitraires Bo, B,, ..., B^.

Soit, par exemple, l'équation

F (JT -f- 2) — ^aF (:r -h I )-H F (:r) = o ;

F (n) a, d'après ce qui précède, pour fonction génératrice

Bgr + B.^ + B

/'— 2a/-hi '

qui, décomposée en fractions simples, prend la forme

Bo-f-

or on a

[t — a'\-^a}—\) (a—s/a^—i) [ a — \la}—i [a^y/à'—if '"y

\t — a — ^a''—\ J a-\-sja'— i L a-^s/a'—i (a-hv/«'— ij' J

en sorte que le coefficient de /', c'est-à-dire la fonction cherchée F (a?), est

Si a est moindre que i et égal à cos<p, on a

.— = -===== costp + v/^=n" sinç,

a — v« — ' cos<p — V — ï smtj»

, = . . =cos<p— V— I smç,

«-hv«' — I cos^-j-y — I smy

et F (x) prend la forme •

A cos^ç H- Bs'inxtf,

A et B étant deux constantes liées à C et à C et par conséquent arbitraires. On a en effet

et par conséquent, a étant égal à cos o,

cos(jc-h2)(p — 2a COS (^ -h i)<p4-cos (p = o.

342. Binet a fait une application élégante de la théorie des fonctions génératrices à la solution d'un problème de géométrie déjà résolu par Euler.

De combien de manières un poljgone de n côtés peut^il être panagé en triangles par ses diagonales?

Soit ABCDEF . . . YZ, un polygone convexe de n -h i côtés. Désignons par P/t le nombre total des décompositions possibles pour un polygone de k côtés. Dans chaque décomposition du polygone donné, le côté AB servira de base k un triangle dont le troisième sommet peut être l'un quelconque des points C, D, E, . . . , Y, Z. Au triangle ABC correspond évidemment un nombre de décompositions égal a P„, au triangle ABD un nombre égal à P;^ P,, à ABE un nombre égal à P^2P4 et ainsi de suite. Tous ces groupes étant essentiellement distincts, leur nombre total est P;+i et Ton a

(l ) P„^,= P.-h PaP,,-f- F*?--» . -h P„-.P.-f P..

Cette équation permet de former successivement les valeurs numériques de P4, P5, Pe, ..., et d'en continuer le tableau aussi loin que l'on voudra; mais un artifice est nécessaire pour obtenir l'expression de P^.

Soit 9 (a?) la fonction génératrice de P„+a et par conséquent

on aura, en multipliant la série par elle-même pour former y (^)^,

ç(jt0'=l+^(P.4-P3)-ha7'(P,-hP,P3-hP4)-h^HP»-+-P4P3-+-P3P.4-Ps)-h...,

c'est-à-dire à cause de l'équation ( i )

PU bien, puisque l'on a évidemment P, = i,

on en déduit

il faut prendre le signe — du radical afin que 9 (a?) soit égal a l'unité pour x = o. On a donc enfin

c'est-à-dire, en développant le radical,

et enfin

OU, ce qui revient au même,

on en déduit