n (/iH-i
équation que l'on peut démontrer directement, comme l'ont fait iMM. Lamé et Rodrigues.
Sur une notation symbolique.
343. En faisant connaître l'expression de la /i'^'"^ puissance d'un produit dans laquelle figurent les mêmes coefficients que dans la puissance /i'*"'* d'un binôme, Leibnitz a signalé d'une manière générale l'analogie qui existe entre les puissances et les différentielles des divers ordres.
Lagrange a développé cette idée en rapprochant à l'aide d'une notation symbolique plusieurs formules qui semblent au premier abord complètement indépendantes.
Convenons de traiter l'expression A. ^ comme une quantité dont la puissance
n'^""'y multipliée par y (a?), donne pour produit A" J n •> '^ théorème de Taylor pourra s'écrire de la manière suivante :
3ii PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Ou vérifie aisément, en effet, qu'en développant e ^-^ suivant les puissances de l'exposant et ayant égard à la convention précédente, le second nombre devient identique avec la série qui représente ç> (a; -h A).
On conclut de la formule (i)
Pour prendre la différence A' nn^ fonction ç [x), que l'on désigne habituellement
par Aç (^), il faut donc multiplier symboliquement cette fonction par \e ''^ — ij ; il est clair d'après cela que, pour prendre la différence seconde, il faut multiplier
( ^- V symboliquement par \^ "^ — jy , et que l'on a généralement
ff(x).
344. Lagrange a eu l'idée d'attribuer dans la formule précédente une valeur négative à n, et d'écrire
mais il faut expliquer ce que signifient les deux membres de cette nouvelle formule et démontrer leur égalité.
Pour éviter une difficulté qui se présenterait dans ces explications, remplaçons d'abord 9 [x] par une dérivée ^'[x)\ écrivons donc
Nous exprimons par le signe A*"* l'opération inverse de celle qui est exprimée par le signe A, c'est-à-dire que ùr^^'[x) a pour différence ^' [cc)\ de telle sorte que
A. A-'iP'(^) = A- Af (^) = ^!/'(jc).
Quant au second membre, il faut, pour l'interpréter, concevoir que le facteur
soit développé en série ordonnée suivant les puissances de h j- et que, dans cette
série, (^)''f (^) soit remplacé par -^
Pour démontrer l'exactitude de l'équation (i) entendue de cette manière, il faut faire voir que la différence du second membre, correspondant à un accroissement h de la variable, estij^'(a7). Or la différence d'une fonction s'obtient, nous
l'avons dit, en la multipliant symboliquement par \e "^ — ij, en sorte que vj^' (a?)
doit être multiplié successivement par les séries qui représentent —^ — ete ^ — i ;
le produit de ces deux facteurs se réduit évidemment à l'unité, quelle que soit la quantité représentée par A j-» et il importe peu que les puissances de cette quantité, h-j- j soient remplacées plus tôt ou plus tard par des dérivées, le produit symbolique se réduira de même à l'unité, et l'on a
et par suite
ou
ce qui est précisément l'équation (i ). En remplaçant le facteur
par le développement qu'il représente, l'équation ( i ) devient
[dx] ^'^^^ ®^* '^^ '^ fonction dont la dérivée est ^ (^)» c'est-à-dire ^ {x); on a donc enfin
Si dans les deux membres, x reçoit l'accroissement h, on aura, en égalant les I. 44
accroissements qui en résultent et remarquant que celui du premier membre est,
par définition^ égal à ^' {x).
A[^-(^4.A)4,-(^)]^j4,..(;r-hA)-4,-(^)]-^..-»
et, par suite,
formule importante et déjà démontrée (333).
345. L'emploi des notations symboliques permet d'énoncer sous une forme élégante un théorème connu sous le nom de théorème d'Herschd^ et qui donne l'expression du développement d'une fonction de la forme y (e*) en série ordonnée suivant les puissances de x.
On a, par le théorème de Taylor,
(i)ç(e') = ^(i-he'-.)=T(0-^f(i)(^-0 + ?''(i)^^^^^
Si donc on pose
y(e') = A.-hA,x-+-A, ar^H -h A, j:--H. . .,
le coefficient A„ sera la somme des coefficients de x^ dans les développements des divers termes du second membre. Or on a
(2) (e'iy' = eA"pe(''-0'-^£i£lIlîJc(/'-^)'-^. ..-^(— i/e",
et dans le développement du second membre, le coefficient de x^ est évidemment
c'est-à-dire (340) ^— ^o"\ on a donc
où le premier terme qui est nul est introduit pour la symétrie* ^/f+i q/i^ ^«+2 o",..., étant nuls, cette équation peut s'écrire symboliquement
(4) A. = iii±All".
Soit, par exemple,
X l.éf
e' — I e^ — 1 on aura
et par conséquent
En comparant ce résultat avec le développement bien connu, on voit que l'expression (5) est nulle si n est impair, et que si n est pair, le facteur entre parenthèses représente le /i'*'"' nombre de BernouUi.
346. Nous ne terminerons pas cette indication rapide de l'emploi des notations symboliques sans rapporter une démonstration remarquable de la série de Taylor. Posons
<p(^H-A) — (|»{^) = ADy{j;), et par suite
ç(x-h2A) = (i-hAD)*<p(^),
^(:r-f-/iA) = {i-|-AD)"ç(:r).
En posant nh = a, on aura
y(x-ha)=.(i-hAD)%(:r).
Si Ton suppose h infiniment petit et n infini, (ih- AD)*= e , et le signe D devient équivalent dans cette hypothèse au signe t-, on a donc
ce qui est précisément l'expression symbolique du théorème de Taylor. Digression sur les Nombres de BernouUi,
347. Nous avons rencontré à l'occasion de plusieurs développements une suite de nombres connus sous le nom de Nombres de BernouUi et dont nous indiquerons ici quelques-unes des propriétés les plus importantes. On a
fr"— l 1 \ .1 1.23.4 1.2.3.4.5.0
3i8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Multiplions membre à membre cette équation par la suivante
Le produit des premiers membres étant égal à x^ il doit en être de même de celui des seconds membres et par conséquent les coefficients de toutes les autres puissances de la variable sont égaux à zéro ; on en conclut
^2 1.2. 3. ..2/1-^1. 2. 3. .(2/l-hï)
It2 I.2...(2/l-hl)-^I.2.3...(2/l-h2)
Ces équation^ déterminent 64 , B3, . . . , B,, ; chaque inconnue se trouve même déterminée deux fois, mais les valeurs obtenues s'accordent, comme cela doit être ; on trouve
B — ^' n— 7 B — '^'> p 43867 2730 D 5io 798
348. Les nombres de Bernoulli se sont présentés pour la première fois dans le calcul de la somme des puissances semblables des nombres entiers.
Nous montrerons d*abord comment ils s'introduisent dans la solution de ce problème. Posons
on déduit de cette équation, en la différentiant p fois, et en attribuant à x la valeur zéro
Or on a
Si Ton développe le second membre en série ordonnée suivant les puissances de 07, 9''(o) sera le produit du coefficient de o(fy par i . u . 3. . ./>. Or on a
X I B,^» B,jc* B,:i;«
\i ces deux équations coefficient de af est, si/? est pair,
En multipliant ces deux équations, on obtiendra le développement de -> et le
nB^
nJ"^' I nJP , B, n^' B, nJP-^ , 2
et si/> est impair,
On a par conséquent, sip est pair,
nP"*"^ I n
iH-2/'H-3^-h. . .-h(n — 1^= /i/'H pnJP-'
^ ' p-hi 2 1.2'^
et si p est impair.
i-h2''-l-3''-h. . . + (/i — 1)^= r^-\ -pnP"'
-7:^/'^^-")'''""^ •• +»^Pr
Oh trouve ainsi
