La somme
que nous nommerons (pp{n)f est un polynôme entier de degré (/i-+- 1) en n, qui jouit de plusieurs propriétés remarquables.
On peut exprimer (pp{n) en fonction de (n — -\ il ne contiendra alors que des
puissances paires, si p est impair, et des puissances impaires, sip est pair. (pp{n) est
en effet, à un facteur numérique près, le coefficient de af dans le développement
de
Si nous désignons cette fonction par ^(^), le développement de la fonction t^{— œ) que Ton obtient en changeant a? en — a?, ne diffère de celui de (j;(a?) que par le signe des termes de degré impair. Si donc^ est impair, le coefficient de af est le même que dans le développement de la fonction
""al ' f ' fr
Or cette fonction ne change pas si l'on y remplace /i — - par — f n — - ), le coefficient de af dans son développement suivant les puiSj^ances 3e a?, est donc une fonction paire de n — -.
Lorsque p est pair, le coefficient de af dans le développement de ^ {x) est le même que dans le déyeloppement de la fonction
^x)-»r^(— x) er* — \ e-"'— I e^ '^1 —e V ^^
— — ' = : hi,
et comme la partie variable de cette fonction change de signe sans changer de valeur quand on y remplace n — ^ par — ^ /i — i\ , ij en est de même de tous les coefficients de son développement suivant les puissances de x.
Il est donc prouvé que <Pp{n) est une fonction paire de n — -^5 lorsque p est impair, et qu'il est une fonction impaire, lorsque/? est pair.
350. Si dans la fonction fp {n) on fait /i = -? on a, lorsque p est pair, et lorsque p est impair,
Pour le démontrer, rappelons de nouveau que<pp(n) est le produit par 1.2.../?, du coefficient de af dans le développement de
^ {') est donc le coefficient de 1 dans le développement de
e* — I Or on a
Mais
a |a r X B, (xV Bt (xy
«'— ij
^— i~a:Le*— iJ — ^V 2 1.2 1.2.3.4*^^' / '
en retranchant l'un de l'autre ces deux déyeloppements, on formera celui de
— -^» et l'on verra que le coefficient de — - — est nul si f> est pair, et égal à
si p est impair. C'est précisément le résultat que nous avions annoncé.
351. Les fonctions (pp{n) et 9p i {n) peuvent se déduire Tune de l'autre par la différentiation, mais la forme de la relation n'est pas la même lorsque /» est pair et lorsqu'il est impair; on a les deux formules suivantes :
Pour démontrer ces formules, considérons l'équation
— =1 =n + ar?,(re)+ -^ ?,(n) -H. . .-»- — ^— - ç,(n)-h . . . .
En différentiant les deux membres par rapport à n, on a
e* — I dn i .n dn i ,i.Z, , .p dn
Mais on a identiquement
et en identifiant ces deux développements qui représentent la même fonction, on obtient les deux formules
^lî^)=^,(«).(./,-H.).
352. Les formules précédentes permettent de démontrer un théorème important : Ijorsque n varie entre les limites o et i, la fonction (p2p{n) change une fois de signe
en s annulant pour n = -» et la fonction ^2gH-\ [^) conserve toujours le même signe.
Remarquons d'abord que (fp[n) est toujours nulle pour les valeurs extrêmes n=o, n = I ; en effet, la fonction
se réduit k l'unité pour n = i , et à zéro pour n = o, les coefficients des divers termes de son développement sont donc nuls dans ces deux hypothèses. Cela posé, considérons d'abord la fonction
lorsque n varie de o a i, cette fonction reste toujours négative, et son maximum,
correspondant à /i = -) est
Considérons ensuite
On a
/i' TV n
(p, {n) variant de o à — g> puis de — g à o, lorsque n varie de o à -^ puis de - à i,
.JfiL^, passe de 4 à ^ — 7 ou !-> et de à -h tt» elle est donc nulle deux fois
an ^ 664 "^ "^ ^
seulement dans cet intervalle, et par suite l'équation 92(71) = o ne peut avoir dans
le même intervalle que trois racines, qui sont n = o, n
Démontrons maintenant le théorème général. Admettons pour cela que la fonction <p2/>-i {^) satisfasse à la condition énoncée, c'est-k-dire qu'elle reste toujours de
même signe lorsque n varie de o à î , et que le maximum corresponde à la valeur -->
la fonction croissant d'une manière continue lorsque n varie de oà -9 et décroissant
ensuite lorsqu'il passe de - à l'unité, de telle sorte que la courbe qui a pour équation
ait la forme suivante
Cela posé, nous avons
dn
Il est évident que cette dérivée, d'après la forme de la fonction ^j^^i (n), ne peut s'annuler que deux fois entre les limites n = o, /i = i, et par suite la fonction (fip[n) étant nulle aux deux limites ne peut pas avoir plus d'une racine intermédiaire.
Cette racine est, comme on l'a vu, n = -: la fonction, nulle pour n=o, n = - et
/i = i, étant (34Ô) une fonction impaire de n -> change de signe pour/i^=^-i
et la courbe dont elle est l'ordonnée a la forme suivante
présentant un seul maximum entre n = o, « = -, et un seul entre n = -. n = r , 353. On a trouvé
dn -(^P + 'W^)-
La dérivée de la fonction 9'^^* (n), ne change donc qu'une seule fois de signe lorsque n varie de o à î , et comme la fonction est nulle aux deux limites, elle conserve le même signe, variant toujours dans le même sens lorsque n varie de o à-?
puis atteignant un maximum à partir duquel elle varie en sens inverse, jusqu'à la valeur zéro, de telle sorte que la courbe dont ^2f^\[n) est l'ordonnée, a la forme représentée par la figure de la page précédente ou par la suivante
Digression sur les fonctions nommées par Legendre X„-
354. Nous avons déduit (315) de la formule de Lagrange l'expression du coefficient de z" dans le développement de l'expression
Ces fonctions, étudiées par un grand nombre de géomètres, ont trop d'importance pour que nous puissions nous borner à la mention rapide qui en a été faite, et nous terminerons ce chapitre consacré aux développements en série, par l'indication de quelques-unes des formes qu'on leur a données, et de celles de leurs propriétés qui n'exigent pas l'intervention du calcul intégral. Nous aurons d'ailleurs
UVRE SEœND.-DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 355
à les étudier de nouveau et à les utiliser plusieurs fois dans la suite de cet ouvrage. En considérant i — 2xz-hz^ comme un binôme
la formule de Newton donne
(i — ^xz-hz^) ' = iH — z(ix — z)-\ '-tzU^x — z f-h. • .•
En développant les puissances indiquées, on trouve pour le coefficient X« de z'\
