COSy = 4C0S* - ç

sinç 9 , ,

arc tang — - — î— = ^ -h- Ar w, '^ I -+- costp a

on a donc

I , , I cos2© cos3« i ' ,

- 1 4 cos' - ^ = cos T -^ -+- —^ ± -^ ip .

cosny n

le nombre entier k étant tel que le premier membre de la seconde équation soit compris entre — ^ et -h *• Si ç) est compris lui-même entre — t: et H- 77, on doit prendre k-^ o, et Ton a

(6 -î- = sm<p ^H r— ^ ± ^-qz

On voit que si 9 augmente d'une manière continue, la série qui forme le second membre change brusquement au moment où l'on a <p = ;r,et la somme passe d'une

valeur infiniment peu différente de -» à une valeur un peu supérieure à — -• D'après

ce qui a été dit (264), les dérivjées des termes de la série doivent, pour cette valeur de y, avoir une somme infinie; c'est ce que l'on vérifie aisément, car ces dérivées se réduisent, pour ip = tt, à

et leur somme est effectivement infinie. Si dans les formules (4) on suppose p = — i, elles se réduisent à

, -l4sm^-^ = -(^cos,-f-~^-h-3-^+...j,

il)

( I \ / . sina* sîn3© \

arctang ( — col -<p j =1 — f smtpH ^H ^4-... j;

l'arc dont la tangente est — cot- 9, est ?^ — - + kuy k étant un nombre entier déterminé, puisque l'on sait que l'arc est .-compris entre — - et 4- -• Si 9 est compris

entre o et 27:, il faut prendre À'= o, et l'on a par conséquent, pour de telles valeurs de<p,

(8) - — -='sin(p-|- - sin2y-H 5 sin3y-|-. . . ,

formule déjà obtenue (301 ) par un procédé très-différent.

' 383. Les formules (6) et (8) étant vraies toutes deux lorsque 9 est compris entre o et tt, on peut les ajouter, et l'on en déduit la formule remarquable

, , »f / . sin3(p . sin5ç \

(9) - = a^s.nf-H-3J-l--5-?-...).

qui a lieu pour les valeurs de tf comprises entre o et tt.

Si l'on change 9 en — y, le second membre change évidemment de signe sans

changer de vakur et devient égal à — -? et comme il ne change pas lorsque 0

:\Si PREBIIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

augmente de 2 7r, il en résulte que, pour toute valeur de ç>, la série

sin39 sin5«)

est égale k ±y^ \e signe H- correspondant au cas où sinç est positif et le signe — au cas où il est négatif. Lorsque 9 est un multiple de rr, tous les termes deviennent nuls et la formule est en défaut. Si l'on suppose y = ^ï on a

formule connue de Newton.

Développement de (i -hz)"*.

384. La fonction (14-2)"* est développable en série convergente lorsque z est réel et moindre que Tunité en valeur absolue. On a alors

Admettons ici comme exacte pour les valeurs imaginaires de z, cette série, qui, bien entendu, sera démontrée plus tard, et nous allons en déduire des conséquences remarquables. D'abord, d'après les explications qui ont été données (378), il ne faut attribuer à z aucune valeur dont le module surpasse l'unité; de plus la fonction ( I H-^)"*, représentée par la série, étant continue et égale a l'unité pour z = o, ne peut prendre que celle des valeurs de (i-h^)*" qui a été calculée (376j. Si l'on pose

z = p(cosf -hv/ — I sin«), p étant plus petit que l'unité, la valeur de (1 -h z)"' qu'il faut adopter, est

p''"(cos/w»H- V'— I sinmwj où

p' = V/l4-p'-i-2pC0S(p,

langfl* = -^ — t

^ i-hpcos®

p' étant positif, et w compris entre et h — Si l'on suppose p = i , on a

P' = \/4cos»5f =±(^cosi?),

tang<h> = tang-?,

et, par suite,

w = — <p — /ttt,

k étant un nombre entier, déterminé par la condition que w soit compris entre

et H- —

On a donc

(2) ( V/4 cos'- (p j j cosmf- (p — k'!f\-\-\J — i sinm f- y — kit\

mim — 1) / r. m(m— i) . 1

= I -h w coscpH ^ C0S2<p-h. . -H- V — ' smy H ^ sm2y-|- ... h

- y — A-TT étant compris entre — - et -H -7 et f 1/4 cos' - <p j étant réel et positif. En

égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres de l'équation précédente, on a

( 1/4 COS' -7 j COS m i-tf — kv:\ =I-hWC0S'pH -^C0S2y

( ^ Tf T^V • /' I \ . . m{m—i) . I i/ 4cos' - ^ 1 smm ( -y — Att J =/wsm^H ^^ ^sm2^

H rXl ^sm3(p^...,

et, lorsque 9 «st donné, ces équations ne présentent, d'après ce qui précède, aucune

ambiguïté, car -tf — kn étant compris entre — - et + -> î est compris entre

kn et A;r4- -1 ce qui, pour chaque valeur de 9, détermine le nombre entier k.

Si l'on veut y remplacer f i/4cos»-a> | , qui est toujours positif, par la valeur acos - 9, il faut le faire précéder du signe ±.

Ajoutons les deux équations (3) après avoir multiplié la première par cosa et la seconde par sina, a étant un angle arbitraire, nous aurons

l±2C0S -(p j COsIa — m--hmAr7rj = COSa-h Wl C0S(a — <p)H ^ ^COS(a — 2<ï») -h

Si l'on pose <p = 2 j?, on a

(4) (lt2C0S:r)"C0S(a — WOr-l- mA-?r)== COSa -f- W COs(a — 2^)H ■ COS(a — 4'^)"*" • • • >

± acoso? étant toujours pris positivement. Si l'on suppose a = m;r, la formule (4) devient

(5) (rt:2COs^)"cosmArfr= cosma:-4-/ncos(m — 2).r -| ^ ■ cos(/?i — ^)x -{-, ..,

et si Ton suppose a = mx -h -> il vient

(6) (±acos^)"sinm/rïr= sinmjr:H-msin(m — 7,)x -{ sin{m — 4)^-+-- • •»

X étant compris entre Att — - et *7r-h-> dans les premiers membres des formules (3 et 6) pour que ±L2(tosx soit positif, il faut adopter le signe -i- si *est pair et le signe — s'il est impair.

Si dans l'équation (4) on pose a = mx\ a?= j?' — -j et que pour la symétrie des formules, on change dans le résultat x' et x, il vient

(7)(±2sinj:)'"oosm(A--|--|7r = cosmar— /ncos(m — i)X'\ 'cos(/n — 4)^ -•-••••

et si Ton fait a = mx' — -» a^rro/ — -? en changeant toujours a?' en x dans le résultat,

(8) (±:2sinjc)'"smm(Â*H--)ïr=rsinmx — msin(m — 2)j:h sin(m — 4)^ "•"••• •

Dans ces formules x est un are arbitraire compris entre irr et (*-h i) tt, et k un nombre entier quelconque. ( ±: îi sina?) doit être positif, et l'on doit par conséquent prendre le signe + quand k est pair et le signe ~ quand il est impair. Euler et Lagrange avaient donné la formule

(9) (2 cosj:)" = cosmjTH- mcos(m — a)x-|-. , . ,

que l'on avait acceptée sans discussion. Poisson fut le première signaler l'impossibilité de l'équation (9) en remarquant que l'hypothèse m = ^»;r = 71, la rend

manifestement inexacte; le premier membre devient en effet — y 2, et le second se réduit à

COS :5 H- X COS -5 -^ ^ '- COS ;r + . . . ,

COS j est égal à -^ et la série

représentant (1 -h i)^» c'est-à-dire y^, cette série est égale a - ^2, et les deux

membres de l'équation d'Euler sont par conséquent inégaux. Mais k cette objection sans réplique Poisson ne joignit pas Ténoncé de la formule exacte, qui fut donnée pour la première fois par Poinsot.

Si dans Téquation ( 5 ) on suppose m = x» a? = tt, il faut prendre k = i, puisque

71 est compris entre rr — -et t: -h -5 et donner le signe — à cosa? qui est négatif; le premier membre se réduit donc à

(2)* COS^ff,

c'est-à-dire à - v^2 , et Ton voit qu'il est égal au second.

Il faut bien remarquer que la série

cosm^-H'ncos(m — 2)^ h ^ ^cos(m — 4)'^"*-- • •

est une fonction discontinue dex^ et qu'elle change brusquement de valeur lorsque x croissant d'une manière continue passe par une valeur de la forme

kn-h -» car à ce moment il faut, dans le premier membre, augmenter l'entier k

d'une unité.

Si l'on supposer précisément égal 2l kn-h-^ tous les cosinus qui figurent dans

la série deviennent alternativement égaux a cosmx et à — cosmx^ et la série devient

série convergente et égale à zéro si m est positif et divergente si m est négatif.

L'équation (5) peut donc être regardée comme exacte, car la valeur attribuée à X donne cosa7 = o; (cosa?)'" est donc nul si m est positif, et infini s'il est négatif.

385. Si dans les formules (5), (6), (7) et (8) du paragraphe précédent on attribue à m une valeur entière, les seconds membres se réduisent à un nombre limité de termes. Considérons la première

(i ) (±2COsa:)"cosmA-ir = cosma:H-mcos(m — 2)0: H cos(m — ^)x-h

Si l'on suppose que m y désigne un nombre entier pair, a/i, cosmkn est égal a l'unité, et en supprimant dans le second nombre les termes qui sont nuls, et remarquant que le signe ±: placé dans le premier membre est sans influence sur sa valeur, on a

(2cos^)*« = cos2W:r-|-2/icos(2n — 2]:rH ^ ^cos(2n — 4)^"+"- • •

-4- ^^(^^ — 0»..(/^-M) ,^,.. ^a;tcos[2/i-(4/i-i)ar]-h 008(2/1 — 4/i)^, 1 . 2 . . w •■

et comme les termes également distants des extrêmes sont égaux

{7, cosx)'" = 2Cos2nx-h'i(5i«)cos(2/i — 2)^-4-2 ^ '- cos(2n — ^)x-h' . .

le dernier terme étant le seul qui, ne se trouvant qu'une fois dans l'équation (2), ne

doit pas être doublé.

Si dans la formule (5) on remplace m par un nombre entier impair (2/H-1),

i^o^mkn est égal à -H i , si A: est pair, et à — i s'il est impair ; mais dans le premier cas

cos X est positif et il faut prendre le signe -+- dans la parenthèse du premier

membre ; dans le second il est négatif et il faut adopter le signe — : le premier

membre se réduit donc toujours k (acosa?)^""*"*, et l'on a, en supprimanfles termes

nuls dans le second membre et remarquant que les termes également distants des

extrêmes sont égaux,

(2COSX)""*"' = 2COS(2/H-l)^H-^(^'*+0 COS (2/1 — \)x-^'2 '- C0s(2/I — 3)x-\-..,

(2/1 -h 1)2/1. . .{/1-H2] -h 2 . i i ^ '- COSO:.

2»»(— i)''sin^^= 2cos2/ia: — 2.2/icos(2/i — 2)^ H- 2. — ^ '- cos (2/1 — ^)x.

De même en supposant m entier dans les formules (7] et (8), on trouvera

tnx 2. 2/1 cos (2/1 2

2"'+'( — i)"sin''"^'x = 2sin(2/i -hi)^ — 2(2/n-i)sin(2/ï — i)x -\', . .

Ces formules étant souvent utiles, nous donnons ici les valeurs numériques des coefficients pour les cas les plus simples; on a :