COS'^ = COS2 X -H I

4 cos'x = cos 3 JT -I- 3 cos X,

8 co^^o: = cos4x 4- 4 cos2^ -f- 3, ï6 cos* a: = cos5.r -|- 5cos3 j: -4- 10 cos^, 32 cos^^ = cos6^H-6cos4'^-l- i5cos2x-}- 10, 64cos'x = cos7a:-4-7 cosSjc-I- 21 cos3.r-t-35cosx, 128 cos*^ = cos8^ -h 8 cos6x -f- 28 cos4 ^ -H 56 cos 2 x -h 35,

— 2sin'jc = cos2a: — i,

— 4 sin*^ = sin 3ar — 3 sin jr,

-h 8sin*^ = cos4.a:^ — 4<^os2jc-i-3,

i6sin'.r=sin5j? — 5 sin 3a: -H losinx, — 32sin*a:=cos6jc — 6cos4^-H i5 cos2^ — 10, — 64sin'j;=sin7:r — 7sin5a:-|-2i sin3x' — 35sinx, 1 28 sin' ^ = cos 8^ — 8cos6x-H28cos4^ — 56 cos 2 x.

386. Remarquons enfin que la série (5) ne peut être convergente que si les coefficients du second membre tendent vers zéro, et il faut pour cela (284) que m -h i soit positif. Si, par exemple, on fait m=z — i, 7w = — 2, on obtient les formules

cos

= 2(cosx — cos3^-f-cos5a: — 00570: -+-. • .)> -— = 2(cos2j: — 2cos4^-l-3cos6x — 4cos8a: + . . .),

eosa;

formules évidemment absurdes et qui cependant ont été adoptées par quelques géomètres.

Si dans la formule générale (383) on fait m = — 1 , on en déduit

==i-l-p(cos!p-h v^^^siny)-hp'(cos2<}»-f-\/^sin2(p)-h. . .;

I — pcosy — p v^ — I sin<p

en multipliant les deux termes de la fraction qui forme le premier membre par I— pcos^H- j9 \/-- I sin^ pour rendre le dénominateur réel, et égalant ensuite les parties céelles et les parties imaginaires des deux membres, on a

I — p cos« . , ^

: : = I-f-pC0Sflp-f-p'C0S2»-f-p*C0S3flp -h. . ., •

I — 2pC0S(p-f-p' r T r T r t

psin® . , . . ^

*- — pS!nçH-p'sm2(j>-hp'sm3<p-h. . .,

I — 2pC0S<p-f-p*

qui ont lieu pour toutes les valeurs de p moindres que l'unité.

Quelques développements en série déduits de la considération d£S fonctions

imaginaires.