Reprenons actuellement les deux équations
Cherchons à développer une fonction F (a, v) que nous représenterons par z, en série ordonnée suivant les puissances de x et de y. Posons, pour plus de simplicité,
les facteurs 9 et ^J; deviendront des fonctions données de m, et de i^^, et Ton pourra, en supprimant les indices, remplacer les équations proposées par
f eif^ désignant toujours des fonctions données de u et de v. Soit
(3) z^lA'^x^y^
le développement de la fonction z. Pour déterminer le coefficient A'", multiplions
Téquation (3) par
dx dy dx dy du dv dv du
Si Ton développe ensuite les deux membres en série ordonnée suivant les puissances de u et de s^, x étant ici proportionnel à a, et y à i', pour de petites valeurs de u et de i^, le seul terme en — dans le second membre proviendra, d'après ce qui précède, du terme en af^y^y et aura pour coefficient A;.; Al est par conséquent le coefficient du terme en — dans le développement du premier membre
dx dy dx dy
du dv dv du
expression que Ton peut écrire de la manière suivante :
I rrfx-" rfj-" rfa;-'» rfj~"*"| I rdx^-^ d ^ dx^*" dizy"*)
mn \^ du dv dv du \ mn\ du dv^ "^ ' dv du
d l ^ .dz\ d^z dr-'dz dx-"' dz~\
Or les termes
dx-'* d . . dx"^ d . . d ( ^ dz\
ne donnant pas (398) de terme en — ? l'expression (4) peut être remplacée par
mn \ ^ dudv du dv ^ dv du)^
dans le développement de laquelle le coefficient de — sera égal à A;r. En rempla-
çantiretj, h^» -j-p^^ leurs valeurs déduites des équations (a), cette expression devient
( «'« J," j «"J,"— • — I 1 il" m*»—' -r-i -7- I
\m/i^ duav m ^ du dv n ^ dudvj
Le coefficient de — est évidemment celui de w"*"* (^"* dans le développement du numérateur, c'est-k-dire, d'après la formule de Taylor,
, ^ / I , d^z 1 , d^ dz I . do dz\
\mn ^ dudv m ^ ^ du dv n ^ du dv/ 1.2.3. ..fA — 1.1.2 3,../i — I. £/«"'-• c/i/"-'
Dans cette expression, il faut remplacer u et \^ par zéro, ce qui revient, en adoptant la notation primitive, à faire u=za, v = b; on reconnaît aisément son identité avec la formule de Laplace.
