DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS D'UN NOMBRE INFINI DE FACTEURS

Condition de convergence des produits infinis.

400. Un produit composé d'un nombre infini de facteurs ne peut évidemment être convergent que si les facteurs tendent vers l'unité lorsque leur rang augmente indéfiniment. Lorsqu'il en est autrement, l'adjonction de chaque facteur nouveau change d'une quantité finie le résultat de la multiplication des facteurs qui précèdent et il ne peut pas y avoir de limite déterminée.

Nous considérerons donc seulement les produits de la forme

dans lesquels Un^ réel ou imaginaire, tend vers zéro lorsque n augmente.

Supposons, en premier lieu, que tous les facteurs considérés soient réels, et que, de plus, âr,,^^,..., a;, étant tous de même signe, les facteurs du produit soient tous plus grands ou tous plus petits que l'unité. La condition nécessaire et suffisante pour que le produit ne croisse pas indéfiniment dans le premier cas et ne tende pas vers zéro dans le second est que la série

«iH-aj. . .-h a, -h. . .

soit convergente.

Posons en effet

(2) P^=(H-«,) (H-aO...(i-ha„);

pour que le produit P soit convergent, il faut et il suffit évidemment que, n étant trèsgrand, il diffère fort peu de P^,, et que, par conséquent, le produit des facteurs qui suivent (iH-a^j) diffère très-peu de l'unité ou, ce qui revient au même, que la somme de leurs logarithmes

soit infiniment petite quelque grand que soit/?.

Or, en désignant par * un nombre très-petit, positif ou négatif, on a

l(i-hA-) = *-— — , I. 52

ilO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

£ étant moindre que Tunité, mais en différant infiniment peu lorsque k est infiniment petit, on en conclut

l(l^-a«^.,)-hl(I4-alH-^)-^-•••-+-l{^-+-««-^p)=^«^-'-^-^"+3-^- •••-•"*«+/» (3)

Si la série

ai-haï+ • . . -H »»-f- • • •

est convergente, la première partie du second membre est infiniment petite lorsque n est infiniment grand; il en est à fortiori de même de la seconde partie, composée de termes infiniment plus petits, multipliés par des facteurs moindres que l'unité. Le premier membre de l'équation (3) est donc lui-même infiniment petit et le produit P est par conséquent convergent. Si au contraire la série

e»t divergente, la première partie du second membre de Téquation (3) augmente indéfiniment avec p, et la seconde partie, qu'elle reste ou non finie, est pour des valeurs croissantes de /i, infiniment petite par rapport à la première. Le premier membre de l'équation (3) augmente donc indéfiniment en valeur absolue, et le produit dont il est le logarithme augmente sans limite ou s'approche indéfiniment de zéro. Le produit P augmente donc lui-même indéfiniment ou s'approche indéfiniment de zéro, et ne doit pas être considéré comme convergent.

401 . La démonstration précédente permet d'énoncer un théorème plus général qui en est évidemment ta conséquence: quels que soient les nombres réetsa«, «2..., a„, le produit

est convergent lorsque les deux séries

«î-l-aî-l-- •• + ««-!-•••»

sont l'une et l'autre convergentes.

Le produit tend vers zéro lorsque, la première des séries étant convergente, la seconde est divergente.

Ce dernier cas ne pouvant évidemment jamais se présenter lorsque a,, a,,..., a„ sont tous de mêmes signes.

Considérons, par exemple, le produit

les. seconds ternies des binômes forment une série convergente, mais leurs carrés forment une série divergente. Le produit a donc zéro pour limite. La première règle conduit à la même conclusion.

Si Ton pose en effet

on a

et il est aisé de voir que la série dont a„ est le terme général est divergente.

402. Dans le plus grand nombre des cas, les théorèmes précédents permettent de prononcer sur la convergence d'un produit en la rattachant à celle d'une série dont l'étude directe est plus facile. Quelquefois cependant la convergence ou la divergence d'un produit est évidente à priori et permet de prononcer sur la série correspondante. Soit, par exemple,

Le produit des w— i premiers facteurs est

P a donc pour limite zéro, et par conséquent la série

est divergente, conformément à ce qui a été dit (228).

403. La convergence d'un produit dont les facteurs sont imaginaires exige que la partie réelle des facteurs s'approche de l'unité et que le coefficient de \/— i tende vers zéro. Relativement à la convergence des produits de ce genre, nous nous bornerons a démontrer le théorème suivant.

[^produit

(l) (1-^ W,)(l-hWi)...(l-f-««). .;

tend vers une limite finie toutes les fois que la série qui a pour terme général le module de Un , est convergente.

Soit, en effet,

chacun des deux nombres réels a„ et b^ est moindre en valeur absolue que le module de Un\ il résulte, par conséquent, de notre hypothèse, que les valeurs absolues de Uny ainsi que celles de i„, forment des séries convergentes.

Cela posé, nous démontrerons d'abord que le module du produit (i) ne peut ni tendre vers zéro, ni augmenter indéfiniment.

On a