I -h M. = I -h tf« -h fr

le module de ce facteur est

V^(H-a«)'-l-^î=i-l-a«-ht*«,

£ ayant pour valeur approchée — et tendant par conséquent vers zéro lorsque /i augmente. Le module du produit des facteurs qui suivent le /i'**"* est donc

(2) (i-l-a»+i-l-ti6*4-i)(" -l-«iH-j-H«a^n+«)-- .(H-ûft+^-hi/^^.+p);

les séries dont les termes généraux sont a„ et 6„, étant convergentes indépendamment des signes de leurs termes, le théorème (400) prouve que le produit (2) tendrait vers une limite finie, si l'on y remplaçait a„^.| , a„^.a , . . . , b^^^ , b^^^^. . . , par leurs valeurs absolues prises toutes avec le même signe, positif ou négatif; il ne peut donc ni tendre vers zéro ni augmenter indéfiniment. Posons maintenant

nous aurons

On ea conclut, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres,

Pn^i=Pn ^«+1 Çn + />n «/n-l ,

7,+, = ^„ -I- a„+, q^ 4- bn+ipn , c'est-à-dire

Pm-i-l Pn = Pn «n+i Cm 6«+i ,

En remplaçant successivement dans ces équations n par n H- i, w -h 2,..., /i -h r, et ajoutant entre elles, membre à membre, celles qui proviennent de la première et

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 413

royiennent de la secoode» on trouve

n+r— I fn-f-r 9

H = qn €U^x -+- ?eH-i 0»+» H- ... H- qn^r-\ a^r -f- Pn 6»+i "h ^«+1 ^a+j -|- . . . -i» J»;,-m--i ^-+/ -

de/?„-»-y„ V^— I ne grandissant pas indéfiniment» ^;, et q^ restent l'un et 4eurs à une certaine limite, et par conséquent la convergence des séries *mes généraux sont les valeurs absolues de a„ et de 6„, prouve que les mbres des équations (5) sont Tun et l'autre infiniment petits, quel que [ue n est infiniment grand; p^ et y„ tendent donc vers des limites détercomme nous Tavions annoncé, le produit est convergent, iple, le produit

l) y—TZTb) V «-4-26; V ^■^=^I6/'*'V 5+Ts) V^a — /i6J"'

înt, quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de a et de 6; il rer ici comme facteur général le produit

s donc poser

I — act

e soientaet b, la partie réelle et la partie imaginaire d'une telle expression et l'autre, pour de grandes valeurs de /i, de la forme -^» kn restant fini

igmente indéfiniment, et comme la série dont le terme général est — ,» est ! indépendamment des signes de ses termes, le produit (6) est lui-même

cepter, bien entendu, le cas où le rapport j étant entier, l'un des facteurs ierait infini.

cession de quelques fonctions sous forme de produits infinis.

pression de sino:. — On a trouvé (293)

nm^ = m^sm^— ^-^^sm3^+ i.:,.3.4.5 ^^^^^^ • )'

n est un nombre entier impair, le second membre de cette équation est m nombre fini de termes, et se réduit à un polynôme de degré m ordonné

il i PREMIÈRE PARTIE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

suivant les puissances de sino?. La formuje peut dans ce cas être démontrée plus directement et déduite des formules fondamentales qui expriment sin [a -h b) et cos(a -f- b) et permettent, comme on sait, de former les sinus et cosinus des multiples d'un arc en éliminant, dans le cas actuel, les puissances du cosinus qui sont toutes de degré pair.

Cette démonstration a l'avantage de s'appliquer aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de l'arc x.

En supposant m entier et impair, le second membre de l'équation ( i ) étant un polynôme de degré m, peut se décomposer en facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de l'équation sin/7M7 = o, dans laquelle on considère sinx comme inconnu. Toutes ces racines sont réelles, comme on sait, et égales à o,

±sin— 5 ±:sin— 1- •» ±sin ~' — ; on a, par conséquent, en désignant par C

une constante indépendante de x.

smmj;

= Csînx (sin^jT — sin* — I (sin*^: — sin* — )-"(sin*j: — sin* \ >

OU, ce qui revient au même, en posant

Lsin* — • sm^ — f • • sm' = — i L

mm 7. m

smmj;=C'

., . / sin*^ \ / sin*.r \ /

sin*

Dans cette formule, m désigne un nombre entier impair et x un arc quelconque réel ou imaginaire.

Si l'on suppose x infiniment petit, le premier membre peut être remplacé par mx et le second par Cx\ G est donc égal a m, et la formule devient

. / sin*.r\ / sin^a: \ / sin'^ \

( -y, ) sm mx = m sin a: / i \ / i \ • • • / i

sin' — / \ sin* — / \ sm'

Posons mx = z, et supposons que, z restant invariable, m augmente indéfiniment; le second membre deviendra un produit d'un nombre infini de facteurs. Cherchons son expression limite.

Lorsque m augmente, x, égal à — » est infiniment petit ; sino? peut donc être remplacé par — 9 et m sin 0? par z. L'un quelconque des facteurs

sm' — m

peut, par la même raison, être remplacé par la valeur limite,

l'équation (2) devient donc, à la limite',

(3) sin. = . (,£;)(.- il)-... (.-^)...,

mais il est indispensable de compléter la démonstration, qui n'est pas rigoureuse. Il est bien vrai, en effet, que dans le second membre de la formule (2) un facteur de rang déterminé ^, s'approche autant qu'on veut de la limite que nous lui avons assignée; mais, pour chaque valeur de m, le produit contient des facteurs pour

lesquels la substitution n'est pas permise, car lorsque* est comparable à m, — n'est

pas trèS'petit et le raisonnement n'est plus applicable. Les deux produits

qui tendent à se confondre dans leurs premiers facteurs, cessent donc de s'accorder pour ceux dont le rang est comparable au nombre m. Il faut prouver que cependant ils ont même limite. Il suffira pour cela d'établir qu'en prenant dans chaque produit un nombre sufQsamment grand, mais fini, de facteurs, les produits de ceux qui restent diffèrent, dans l'un et dans l'autre, aussi peu qu'on le voudra de l'unité, car alors, ces facteurs n'ayant pas d'influence sur le résultat limite, il importe peu évidemment que l'on puisse ou non les substituer individuellement les uns aux autres.

Pour que cette double condition soit remplie, il suffit évidemment que les produits (4) et (5) soient l'un et l'autre convergents et pour cela (403) que dans les séries

n^-^/in^

sin'^

sin» j:

sin^^-

sin' —

les parties réelles et les coefficients de V— i forment des séries convergentes indé-

pendanimenl des signes de leurs termes. Or ces séries peuvent s'écrire

4fl 9!^

^sin* — ^sin'-^— fYi m

Les facteurs placés hors delà parenthèse qui seuls contiennent V— 1, n'influent évidemment pas sur la convergence des séries à examiner, et tout se réduit à prouver que les séries à termes positifs placées dans les parenthèses sont convergentes; cela a lieu évidemment pour la première, et Ton s'assurera qu'il en est de même de

la seconde en remarquant que le rapport d'un arc moindre que - à son sinus, est

moindre que -» et que par conséquent les termes de la seconde série sont moindres que ceux de la suite convergente

Les deux produits (4) et (5) sont donc convergents, et cela, comme nous l'avions dit, permet d'affirmer qu'ils ont même limite.

On a donc enfin, pour toute valeur réelle ou imaginaire de a:,

sinx = ^(,-f;)(.-^.)(.-^.)....