M-^){-OH)H

on en déduit

ir 2244^6 ^^ ^/i

formule célèbre que Wallis a découverte par un procédé très-différent.

417. On a rattaché depuis longtemps la formule précédente à une formule de

Slirling, qui fait connaitre l'expression approchée du produit i .2... a: pour de grandes valeurs du nombre entier x.

La formule de Stirling, sur laquelle nous aurons à revenir, entraîne évidemment celle de Wallis; la réciproque a été établie de la manière suivante par M. Serref:

La formule de Wallis donne

1 — iim ( a. 4. 6.-. .2/1)' (i.9..3.../i)'[?..4'-(a/l— ?)2/ip

(1.2.3. ..w)* = hm 2^" , 1- —-^ . •

Si l'on pose

\llT:*e~*X i-

l'équation ( i ) équivaut, comme on le vérifie aisément, a

Or on peut démontrer directement que l'on a aussi

et la comparaison des équations (3) et (4) exige évidemment que 9 [n] ait pour limite l'unité.

Pour prouver l'équation (4)» remarquons que l'on a, d'après l'équation (2)^

ç(r-hi) e\ xj or on a, en désignant par 6' et Q" des nombres compris entre zéro et l'unité,

\ xj X ix' X ix^ 3 x^ par conséquent

ou enfin, 6" étant un troisième membre plus petit que l'unité en valeur absolue,

On déduit de celte formule, en remplaçant successivement a: par a? 4- 1 , a? H- 2,..., *ix'— I, et désignant par 6\, 6\,..., 6l., des nombres compris enlre — i et -+- 1,

Multiplions ces équations membre a membre, en remarquant que la valeur absolue de la somme

est moindre que ~ . x, c'est-à-dire que -, nous pourrons écrire, en supprimant tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur du premier membre,

Cette équation montre que, x croissant indéfiniment, -^7—^ a pour limite l'unité ,

^, \ ayant aussi pour limite l'unité, le rapport des deux fractions, c'est-à-dire

f {x), tend aussi vers l'unité.

En d'autres termes, on a, approximativement, pour de grandes valeurs de a;,

l'erreur relative étant d'autant moindre que x est plus grand: c'est le théorème de Stirling.

418. M. Serret, en faisant connaître cette démonstration élégante, a montré qu'elle conduit à une série convergente qui représente exactement le logarithme du produit 1.2. 3... a;, et dont la formule obtenue équivaut au premier terme. Posons en effet comme précédemment

il) ?(^) =

on a identiquement

Si m croît indéfiniment, ç(a? H- m -f- i) tend vers Tunité et son logarithme tend vers zéro ; on a donc

Mais l'équation (a), qui sert de définition à ^{x)y donne

l(l.2.3. . X)=. -l2tr X-^ix -\--\\x H- \^[x)y

et, en remarquant que Ton a

et, par conséquent,

ç{jr-»-/H-i) \ 2/ \ x-^-nJ

on a enfin

Cette formule a été donnée pour la première fois par M. Gudermann. La démonstration même prouve que la série est convergente ; il est aisé d'ailleurs de s'en assurer directement. Le terme général

[(. + „-Hi)l(.+ ^)-,] est égal en effet à

^:r -h /i -h- j [^-f-ji - 2(^-hn)' "^ 3(a:-h/i)V "" ' '

0 étant plus petit que l'unité ; or, en effectuant les multiplications, celte expression se réduit à la somme

\3 î) (X'hn)''^ 6{x-hny' qui est évidemment le terme général d'une série convergente.

428 PREinÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

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