SiTéquation

qui lie la variable primitive à celle que Ton veut lui substituer, fournit, pour chaque valeur de x, plusieurs valeurs différentes de z^ , il est clair que dans les formules précédentes, z^ représente seulement Tune d* entre elles, que l'on pourra d'ailleurs choisir arbitrairement. Si donc on veut transformer le résidu intégral

on ne devra pas le regarder comme égal au résidu intégral

relatif à toutes les valeurs de z , mais au quotient de ce résidu par le nombre des valeurs distinctes de z qui correspondent a une même valeur dex.

Si pour une des racines a? = a de Téquation — — = o, /ui valeurs de z deviennent

égales entre elles, le résidu correspondant n'entre qu'une seule fois dans l'expression ( 2) ; mais alors, en vertu du paragraphe précédent, il est égal au produit par jm du résidu relatifs (v = a qu'il remplace, et la relation entre les expressions (i) et (2) C^ste par conséquent la même.

Di^tized by

462 PREMIÈRE PARUE. — CALCUL DIFPÉRfiNTIEL.

Quelques applications de la théorie des résidus.

447. Cauchy a retrouvé plusieurs formules célèbres et importantes en appliquant à des fonctions quelconques les théorèmes démontrés pour les fractions rationnelles. Malgré le peu de rigueur d'une telle extension , nous en donnerons ici quelques exemples.

Considérons la fonction cot - 9 et appliquons-lui la formule démontrée au § 443.

Les racines de Téquation

col -

sont

fr 2fr nie

et le résidu relatif à — est (437) -^ -, le résidu de ^> relatif à « = o, est — ~\

3 ir' 4^ ^ "^

c'est-à-dire

2) ^ = i-hyH 1 h-

La formule du paragraphe (443), appliquée k la même fopction cot - « donne Or on a pour la valeur « = —

COl-

Air

«tp

col 2

La formule (3) devient par conséquent» en réunissant les résidus relatifs à

= — etaz = ■

col-

ce qui est d'accord avec la formule déjà trouvée (409).

Calcul des fonctions symétriques.

448. Soit ^j— • une fraction rationnelle quelconque, et a?,, a?^, .., ^„les racines, supposées distinctes, de l'équation ^ (a?) = o. Si l'on pose

on aura, pour une racine quelconque Xp, et par conséquent

Le second membre étant la somme de tous les résidus de la fraction ||^9 peut (443)

être exprimé par un résidu unique, et Ton obtiendra ainsi l'expression d'une fonction symétrique des racines de l'équation ^ [x) = o. Soit, par exemple,

Y{x) = x^; il faudra prendre

et la formule (3) devient

(4) ^-H^,+...+.:=iî^.

Mais on a (443)

que l'on peut écrire

^ +(07) ""<-- [(z"+')l(i-hA.z-h...-hA«2-) '

c'est-à-dire (436)

px'''^'{x) I d' /m-h(m — i) A,z-h..>-hA,-,jg'— *\

^ ^{x) ■" I 2.3.. . nrfz- \ i-h A,z -h A,-5»-f-. . .-hAi.-s'" / '

la variable z devant être remplacée par zéro après les différentiations effectuées.

449. La formule précédente serait d'une application fort pénible, mais on peut la transformer et ia remplacer par une autre beaucoup plus élégante. On a trouvé

x:-|-xî+...-4-x; =^^ ^"

Pour transformer ce résidu, remarquons que, pour z^o, l'expression a pour limite m; or on a identiquement

et comme on a évidemment

p ffi

cette équation se réduit à

mais

, , / 1 \ z dz

donc

Pour calculer la valeur que prend, pour 2 = o, la dérivée n'*'"^ de ls"*t}/ (-J, il suffit de développer en série la fonction

et de multiplier par i .2.3. . . n le coefficient de 2"; or, en posant

M = A« z-'-h A«,, z—' -h. . .4- A.r , on a

Or en nommant />, ^, r,..., des nombres entiers inférieurs à n, le coefficient de 2" dans ^ — j- — est la somme des fractions de la forme

k (1.2. 3. ../?)(!. 2. 3. ..9). ..(1.2,3.../) ^' ^^ • • •''"" dans lesquelles on a ,

/> -h 2</ -h. . .4- m/ = n, et par conséquent le résidu cherché, c* est-a-dire

est exprimé par la somme

■^/? + ç-4-...+/(i.2.3. ../>) (1.2.3... fl)... (1.2.3... 0 '*■■"'

/>, y,..., / étant /w nombres entiers tels, que

p-h^q -\-. . .4- fnt = /;.

450. La théorie des résidus peut aussi s'appliquer au calcul de quelques fonctions symétriques des solutions d'un système de deux équations a deux inconnues. Soient <p {x, y) = o, ^|; (;r, y) = o, deux équations données entre x et r. Cherchons la somme des valeurs que prend la fonction

ilx dy dy dx

pour tous les systèmes de valeurs de x et de/ qui satisfont aux deux équations. Le numérateur ^f (a?, y) étant une fonction quelconque de x et de j, il est digne de remarque que cette somme est toujours nulle, quelle que soit la fonction f^ , pourvu que son degré soit inférieur de plus de deux unités à la somme des degrés des fonctions y et cj;.

Si nous attribuons en effet à x une valeur déterminée, l'équation <jp {xy x; =o fournira pour y un certain nombre de valeurs correspondantes y,, /2"--» v«- Posons

On sait que F {x) est une fonction rationnelle de x\ cherchons le résidu intégral de cette fonction F (a?) : nous aurons

Les résidus doivent être pris pour toutes les valeurs de x qui rendent les fonctions infinies, soit en annulant le dénominateur, soit en rendant le numérateur infini.

Les valeurs de a? qui annulent les dénominateurs i( (^jJ'i)» ^'(^•Ja)' ••' 4'(^'7'') forment avec les valeurs correspondantes de j,, /,2..., j» toutes les solutions du système

Calculons d'abord les résidus qui leur correspondent. Soit a l'une de ces valeurs de Xy et ^ la valeur correspondante de 7, on a

rii r /('^>.r/>)(-^ — «) /(«>P)'

I dx Jy

Dans le calcul de la dérivée - \^' ^ il faut observer quej^ est une fonction àeœ définie par l'équation ç (^,y) = o; on a par conséquent

j- étant fourni par l'équation

li d± d^ dy

dx (Ix dy^ dx

d(f df rfr

dx dy (Ix *

on en conclut

dtp d'^f d rif d-^

d^ dy dx dx d y

dx dff

et le résidu relatif a x = (x. devient

id

\ dy dx dx dy) «, ,?

Les lettres a, ^, placées à droite des parenthèses, indiquent que l'on doit, après les opérations, remplacera; par a et / par /3. La fonction/(a:, y) est Jusqu'ici arbitraire ; si nous posons

d (f dj-

le résidu deviendra

I di^ d^ d<f d"^ \ \dxdx dxdx)y,/i

et la somme de ces résidus est précisément la fonction symétrique que l'on veut calculer.

Le second nombre de l'équation (3) contient en^jore les résidus relatifs aux valeurs de X qui rendent infini l'un des numérateurs. D'après le choix fait pour la

fonction/(iCyj) ces valeurs sont celles pour lesquelles on a —^ = o, et pour lesquelles par conséquent deux racines de l'équation f (a?, j) = o deviennent égales entre elles. Or nous allons montrer que les fractions qui répondent a ces deux racines, et qui toutes deux deviennent infinies, ont une somme finie; il sera évi-

dent alors que la somme de leurs résidus est égale a zéro, et par conséquent le second membre de Téquation (3) se réduit à la somme des résidus déjà calculés, c'est-à-dire à la fonction symétrique dont nous cherchons la valeur. Soient

^^^ ni ^ dl '

les deux termes de (2) qui, pour une même valeur de a?, x = x\ deviennent infinis en même temps. Si Ton pose x=x' -\-i^ g étant infiniment petit, les racines j* et jj, qui, par hypothèse, deviennent égales pour x = x\ différeront infiniment peu. Soit *

Jo J2» ••> J/i étant déduites de l'équation y {x, y) = o, on aura

et puisque £, )7i et yjs sont infiniment petits, et que l'on a par hypothèse

ces équations se réduisent à

d» I d^9 , rf<p I d^(f 3

par ou l'où voit que yj, et yj^ peuvent être regardés comme égaux et de signes contraires et infiniment grands par rapport à e qui est comparable à leur carré. Il résulte

de là que les facteurs^ et ^* qui figurent aux dénominateurs des formules (6),

sont proportionnels à yj, et à yj^ ; -r^ étant nul en effet pour x = x',y =/'» lorsque x' devient x' -h e, et j' y' -h yj, il prend la valeur

d^ff d'ff

dy dx' dy

qui, en négligeant le terme en e, se réduit à

Si donc on désigne par j3| et jS^ les fractions la somme des deux fractions (6) se réduit à

j3| et jSj sont des fonctions de a?, qui, i^our œ = x\ prennent la même valeur, et si leur différence est de même ordre que y},, la somme (6) a une limite finie. Or il en est évidemment ainsi, car, pour obtenir j3, et /3a, il faut, dans une même fonction, remplacer x par x' et y par /'-+- >}| ,y' — >?i , et il est clair que la différence des valeurs obtenues est proportionnelle à >?, .

. Nous pouvons donc réduire le second membre de (3) à la somme des résidus relatifs aux valeurs de x, qui annulent les dénominateurs, et l'on a enfin

On sait (442) que le résidu total £,f{x) est nul pourvu que le produit xf {x) se

réduise à zéro pour une valeur infinie de x; cherchons dans quel cas cette condition est remplie. On a

Lorsque a? augmente indéfiniment, ji,/2.--»J«» s'approchent d'être les racines d'une équation homogène en x et/, et leurs rapports à x tendent, en général, vers des limites finies, en sorte que l'ordre de grandeur des diverses fractions qui composent le second membre est celui d'une puissance de x, ayant pour exposant l'excès du degré du numérateur sur celui du dénominateur. Si m est le degré de ^, et n celui de <p, le dénominateur est dedegré/n-f-n— i. Sidonc^estdedegrém-h/i— 3,

le second membre est comparable à — , > et son produit par x tend vers zéro lors-

que X augmente ; on a donc

et par conséquent

^d(f rfij/ d ff d^ dp dli~'€Û dj

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