Déterminer, pourx=Of la véritable valeur de

' ^ ' sec X — cos X

— Cette fraction, pour a; =o, se présente SOUS la forme-» et il en est de même du

rapport des dérivées de ses deux termes. La règle générale prescrirait donc ici deux différentiations; on peut les éviter en remarquant que l'on a

l(i -f-^-f-^')-l-l (i — x-Jrx^) __ C0S3:l(i H- JT'-hJ:*) séc X — cosjr sin'^

sin-jr

Le facteur cos a? tendant vers l'unité, n'exerce aucune influence sur la limite : ^

tendant vers l'unité, on peut remplacer le dénominateur par x^, et la limite cherchée est égale à celle de

\(\-\-x^ -\-x') Or on a

K I -h ^^ -h xM = T^ -h X* — ^^—^ — ^ -h

que l'on peut, pour une valeur infiniment petite de x, réduire au premier terme x-: la limite cherchée est donc l'unité.

460 . Déterminer, pour x == o , /a véritable valeur de '^'^'" ' ^j Pour a p-

pliquer à cette fraction la règle générale, il faudrait prendre six fois la dérivée de chaque terme ; le développement eu série du numérateur conduit au même but par un calcul plus facile. On a

sin' X sin* x

sin (sin jr)=sin j; rr-^ -h

Dans chacun des termes du second membre, remplaçons sin x par la série qui le représente, et supprimons les termes dont le degré surpasse 5, et qui, multipliés par X et divisés par x*, doivent donner un quotient dont la limite est nulle; nous aurons

6 I20 b V 2/120 3 lo

On a aussi, en négligeant cette fois les termes en x\

et par conséquent, en négligeant toujours les termes enx\

^•sm (sm^) — sm».r = a:«(~— ^gj = yg:

le quotient

j;sin (sinor) — sin^.r

a donc pour limite -g-

461. Détenninery pour X =^ Oy la véritable valeur de — L'application

directe de la règle générale conduirait dans ce casa substituer indéfiniment au problème proposé un autre plus compliqué et de même nature. La solution est au contraire très-simple si l'on a recours à des artifices analogues à ceux que nous avons employés dans les cas précédents. En appliquant d'abord. la règle générale, on substitue à la fonction proposée le rapport des dérivées

l'hypothèse a; = o rend les deux termes du numérateur infinis, et l'on n'a foii, comme on voit, que substituer une difficulté à un^ autre. Pour calculer la véritable valeur de l'expression ( i ), donnons-lui la forme

[i^xY ayant évidemment pour limite e, il suffit de chercher la véritable valeur de

Remplaçons l(i +^) par la série qui la représente, en négligeant dans le produit (i -ha?) l(i 4-a?) les termes en x^^ nous aurons

la limite cherchée est donc — -? et l'on a par conséquent

(2) hm' ^ = — -•

Cherchons encore la limite de la fonction

r ex

qui, (l*apres le calcul précédent, prend pour^;=o, la forme-- Le rapport des dérivées des deux termes est

Le dénominateur étant ici 2jr, nous pouvons, sans altérer la limite, dans le calcul du numérateur, négliger les termes en x^. Occupons-nous d'abord du facteur

i^ (i-hJ:)l(i -4-.r) X x^ '

En y remplaçant l(i-i- jr) par son développement, on voit que ce facteur, quand on

y néglige les termes en x^, se réduit k — - -f- ^- Le multiplicateur (i -f- x)^"' ayant

une limite finie, nous pouvons nous borner à cette approximation; mais il n'est pas permis de remplacer ce multiplicateur par sa limite é, l'erreur commise serait en effet comparable à .r, et ne doit pas être négligée. On a, en négligeant les termes

en x^.

par conséquent, au même degré d'approximation, L'expression (4) devient ainsi

dont la limite est -^^ et Ton a enfin

{i^xf-e-\- —

hm ; = — 7-

La valeur approchée de [i-^xY lorsque x est très-petit et que l'on néglige les termes en x^^ est par conséquent

, , .^ ex w ex^

Ce sont les trois premiers termes du développement de la fonction. On parviendrait plus directement au même but par le développement direct. Posons

on a donc

et par conséquent

et les premiers termes sont évidemment

Les suivants, qui s'obtiennent sans difficulté, font connaître les limites des expressions

{i + xr—e +

ex 1 1 ex' a a4

x' i ex

1 1 ex^ 1 1 ex^

dont la première est — 7- ^ et la seconde -gg- e.