THEORIE DES POINTS SINGULIERS

Définitions.

462. Un cercle de rayon infiniment petit ayant son centre situé sur une courbe plane, coupe en général celle-ci en deux points que l'on peut regarder comme diamétralement opposés, encesensque les rayons qui s'y terminent forment un angle infiniment peu différent de deux droits. Toutes les fois qu'il en est autrement, le centre du cercle est regardé comme un point singulier. Cette dénomination comprend:

Les points de rebroussement, tels, que le cercle infiniment petit décrit de ces points I. 6f

comme centre coope la courbe en deux points dont les rayons forment un angle infiniment petit; on les distingue en points de rebroussement de première et de seconde espèce» suivant que les deux branches de courbe sont situées de côtés différents {fig. i), ou d'un même côté [fig. a), par rapport à la tangente commune ;

Fig. I.

Les points d'arrêt^ tels, que le cercle ne coupe la courbe qu'en un seul point;

Les points anguleux^ tels» que le cercle coupe la courbe en deux points dont les rayons forment un angle fini.

Les points ntultiples, où se croisent plusieurs branches de courbe, tangentes ou non les unes aux autres, ei tels, par conséquent, que le cercle coupe la courbe en plus de deux points;

Les points isolés, qui ne sont voisins d'aucun autre, et tels, par conséquent, que le cercle infiniment petit dont on a parlé ne coupe la courbe en aucun point réel.

Caractère analytique des points singuliers.

463. Les points singuliers d'une classe nombreuse de courbes peuvent être découverts à l'aide du théorème suivant :

Si V équation d'une courbe est Y [x^y) = o, la fonction F étant continue et parfaitement déterminée pour des valeurs données de x et dey ^ les coordonnées d*un point singulier satisfont nécessairement aux deux équations

dF d¥

Soient en effet a et & les coordonnées d'un point M de la courbe, pour lequel les équations (i) ne soient pas toutes deux satisfaites; soient a + A» 13 + ^, les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec un cercle de rayon R ayant son centre en M ; posons

A = Rcosa, /f = RsinM,

ce qui revient k nommer R et li les coordonnées polaires du point d'intersection; en prenant le point M pour pôle et une parallèle à l'axe desX pour axe polaire, on aura

(2) F(a-f-Rcosw, fr-hRsinM)=o.

UVR£ SECOND. - DËVELOPPEBIBNTS EN SÉRIE. 483

En appliquant le théorème de Taylor, et remarquant que Ton a F (a, i) = o, l'équation (3) devient

d¥ rfF

(3) o=^Rcosw-h-Tj Rsina-hMRS

M ayant une limite finie lorsque R tend vers zéro; l'équation (3) peut s'écrire

0 = -^cos w 4--^ smtt-hMR,

et la valeur de ft qui y satisfait, lorsque R est infiniment petit, diffère évidem- '!c

ment fort peu de la valeur li, pour laquelle on a

JF . rfF .

-j- cos «I -h -jtr sm tt, = o ,

c'est-à-dire

rfF

tang«.=-^,

da rfF db

qui correspond a une direction unique et déterminée, puisque, par hypothèse,

-T- et -ir- ne sont pas nuls tous deux.

Les rayons vecteurs qui réunissent le point M aux points d'intersection, font, d'après cela, des angles infiniment petits avec une même droite, et la courbe a par conséquent en M une tangente unique. Mais cela n'exclut pas encore tous les genres de points singuliers, et il faut prouver qu'il n'y a en M, ni point de rebroussement, ni point multiple, où se croisent plusieurs branches de courbe ayant même tangente. Pour cela nous démontrerons que la tangente, dont l'existence a été démontrée, coupant le cercle de rayon R en deux points diamétralement opposés P et Q, la courbe proposée le coupe elle-même en deux points seulement, dont l'un est infiniment voisin de Pet l'autre de Q.

Considérons, en eflet, à droite et à gauche du point Q, et sur le cercle PQ, deux points I et V correspondant à des rayons MI, MF, inclinés sur MQ d'un angle donné a; faisons varier a, d'une manière continue, depuis la valeur £/| — a qui correspond au point F, jusqu^a u, + a qui correspond au point I, et examinons la

variation correspondante du premier membre de (3). Il devient pour « = «, — «

et pour u = Ut -ha

Posons

d¥ , . rfF . . - -.-^

•T- cos(tt, — *)"*" "^ sm{i«, — a)4-MR,

rfF rfF

-^ cos(a,-h-a)4- -iT- sin(tt, -|-a)-hM'R.

^F , . rfF ,

-j- := H sm a, , -TT = — k cos «, ,

aa au

^rfF = ^"«"'

ce qui est toujours possible, puisque -j- ^^-âû"^^ ^^^^ P^^ ^^^Is, et que Ton a

rfF rfa rfF

l'équation de la courbe devient

(4) A-sin(tt, — M)-hMR = o,

R étant infiniment petit, si Ton fait varier a de a, — a k a, -h a , ou de tt -h w, — a à 71+ Mf 4-.<9(, le premier membre change évidemment de signe dans chacun de ces intervalles, et de plus il ne change qu'une fois, car la dérivée par rapport à u

— A*cos(tt, — M)-hR -j- ' du

ne change de signe dans aucun des deux intervalles, et par conséquent le premier membre de (4), étant toujours croissant ou toujours décroissant, ne peut s'annuler qu'une fois.