Lorsque les deux équations
e/F rfF
sont satisfaites en un point, les termes du premier degré étant nuls dans le développement de (1) F(a-hRcosa, fr+Rsinu)
on peut, après ce développement, supprimer le facteur R' dans l'équation de la courbe, qui devient ainsi
I /rf*F rf*F rf'F \
M étant un facteur que le développement de Taylor fait connaître, et qui dépend de c€ et de R.
Les valeurs de à qui satisfont à l'équation (a) diffèrent évidemment infiniment peu des racines de Téquation
d^¥ rf* F rf' F
(3) -T-r cos'M-h2 'j „ sin Mcos «-f- -»r- cos^tt = o.
a a* a ado db*
Si ces racines sont imaginaires, Téquation (a) est impossible, et le point considéré est un point isolé. Si elles sont réelles et inégales, le point est un point double oùse croisent deux branches de courbe qui, considérées isolément, ne présentent aucune singularité. On le démontrera pour chacune d'elles absolument comme on Ta fait pour la branche unique étudiée dans le paragraphe précédent.
Lorsque l'équation (3) a deux racines égales, la courbe n'a, au point considéré, qu'une seule tangente, mais nous allons montrer qu'elle a, en général, un point de rebroussement.
L'équation de la courbe peut en effet être mise alors sous la forme
( 4 ) ( A sin a -h B cos a )' -h MR» = o ;
A et B étant des constantes données, on peut toujours poser
A==A"cosM,, B= — A* sin 11,,
et l'équation devient
(5) A'sin»(M, — «)-hMR» = o.
Si dans cette équation (5), on fait varier u de la valeur w, — a jusqu'à Mi 4- a, a désignant un trës-petit angle, le premier terme du premier membre aura le même signe aux deux limites, et il en sera de même du premier membre tout entier, pourvu que R soit suffisamment petit. Il en est de même lorsque u varie de îr-f-a, — a à tth-m, -ha, et par suite, dans chacun de ces intervalles, l'équation a un nombre pair de racines. Il est aisé de voir tout d'abord que ce nombre pair ne peut surpasser 2. La seconde dérivée du premier membre par rapport à 1^ a en effet une valeur finie aussi bien pour £/ = a, que pour u=^n — u^\ elle ne change donc de signe dans aucun des deux intervalles considérés, dont chacun ne peut par conséquent contenir plus de deux racines, et le nombre des points d'intersection dans chaque intervalle est égal à 2 ou à zéro ; or aucun des deux termes dont se compose l'équation (5) ne change de signe lorsque u varie de a, — a, à m< -h a^ , ou de tt -i- a, — a, à tu- m< 4- a^ . Si donc dans l'un de ces intervalles ils sont de même signe, il n'y a pas de solution; s'ils sont de signes
contraires, on peut faire R assez petit pour que le premier terme remporte pour les valeurs extrêmes de i£, le second donne au contraire son signe pour la valeur intermédiaire de u qui rend le premier rigoureusement nul : il y a donc deux changements de signes, et par suite deux racines. Or les termes qui donnent leur signe à R sont de troisième degré en sini£ et cos u; a = a, et a = tt H- m, leur donnent par conséquent des signes différents; et si les deux termes de l'équation (5) sont de mêmes signes lorsque u varie de ai — a, a iii +««, ils sont de signes contraires lorsqu'il varie deTr + w, -f-a, à ;r-f-w, — a,, et réciproquement. Il y a donc deux points d'intersection dans l'un des deux intervalles, et aucun dans Tautre, ce qui indique évidemment un rebroussement; et comme la valeur de a =a< ou// = 7r + U| qui correspond à la tangente, donne au premier membre un signe opposé à celui qu'il prend pour celles qui correspondent aux extrémités du petit intervalle considéré, les points d'intersection sont situés de part et d'autre de la tangente, et le rebroussement est de première espèce.
Il est prouvé par ce qui précède que dans le cas où. l'équation (3) a deux racines égales, la courbe présente en général un rebroussement de première espèce; mais le raisonnement repose sur une supposition qui peut, dans des cas exceptionnels, se trouver inexacte. Nous avons admis en effet que les termes indépendants de R qui donnent leur signe à la fonction M ont, pour £/=:a, , une somme différente de zéro, et changent par conséquent de signe sans changer de valeur, quand on suppose successivement u = u^ , u = n-\-u^. S'il arrivait que la somme de ces termes fût égale a zéro lorsque u = u^, nos conclusions seraient changées, et la courbe couperait, en général, deux fois le cercle dans chacun des intervalles que nous avons étudiés, se composant par conséquent de deux branches tangentes l'une à l'autre et dont chacune n'offre aucune singularité.
465. Il peut arriver aussi que deux des points d'intersection disparaissent, et que la courbe présente un rebroussement de seconde espèce, mais cela exige une nouvelle équation de condition.
Pour étudier la forme de la courbe et démontrer ces assertions, il est avantageux de substituer au cercle considéré jusqu'ici, deux droites parallèles à Taxe des Y et situées de part et d'autre du point M à une distance infiniment petite, que nous désignerons par h; il est clair que les intersections de ces parallèles avec la courbe feront connaître le nombre et la situation des branches de celle-ci. Posons donc
Téquation de la courbe deviendra, en employant les notations adoptées et ayant égard aux conditions admises.
UVRB SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 487
ft{hfk) contenant des termes dont le degré est égal ou supérieur a 3. Si l'on divise Téquation par P et que Ton pose t. = "» cette équation devient
(2) AM» + aBa-f.C-hA/;(M)-hA»/,(a) + A»/3(M)-4----=o,
Ai^)* A{^)y/9{^)f étant des fonctions entières de w, la première du troisième degré, la seconde du quatrième, et ainsi de suite.
Dans le cas que nous étudions, les trois premiers termes de cette équation forment u^ carré parfait, elle se réduit à la forme
(3) A(tt — tt.)'-h^/(M)-^A»/,(M)-h...=o;
A étant très-petit, les solutions sont évidemment très^-peu difTérentes de U|, et il n'y a par conséquent qu'une seule tangente formant avec l'axe des X un angle dont la tangente est u« . Si/« (i^ , ) est de même signe que A, il y a deux solutions si h est négatif, et il n'y en a pas si h est positif; le contraire a lieu si A{u^) est de signe contraire k A; la courbe présente dans les deux cas un rebroussement de première espèce. Nous ne reviendrons pas sur cette discussion, qui a été faite par la considération du cercle. Le cas singulier qui reste a examiner est celui où l'on a/^ (u,) = o. Posons alors
et remplaçons l'inconnue u par u« + XA, X étant une inconnue nouvelle. L'équation (3) deviendra
en supprimant le facteur A^ et développant ip(M|4-XA), /a(«i-+-XA), par le théorème de Taylor, il vient
(6) AX' + H(M,.)H-/,(M,)-hPA+QA»-f-...=o;
h étant infiniment petit, les valeurs de X différent infiniment peu de celles qui satisfont à l'équation
(7) AV-f-> + («,)-h4'(M.) = o.
Si cette équation a deux racines réelles X« et Xs , il est aisé de voir que l'équation (5) admettra, pour une valeur infiniment petite de A, une solution comprise entre X, — e et X^ -+- ê , et une autre entre X, — e et Xa + s, € étant aussi petit que l'on voudra.
La courbe se compose donc de deux branches ayant même tangente, et dont chacune ne présente aucune singularité. Si l'équation (7) a ses racines égales, en nommant Xo leur valeur commune, on peut écrire la relation (6) sous la forme
A(>—>.)«-hPA + QA' -+-... = 0.
Cette équation ne peut être satisfaite que pour une valeur de X telle, que le terme du premier degré en h soit de signe contraire a celui de A. Si donc l'une des parallèles à l'axe des Y menées de part et d'autre du point M coupe la courbe, l'autre ne la coupe pas, et il y a rebroussement. Ce rebroussement est de seconde espèce, car les deux valeurs de X sont l'une et l'autre peu différentes de X^, et, comme on a posé
les deux valeurs de u correspondent k deux directions situées du même côté par rapport à la tangente dont le coefficient angulaire est Uq.
466. La discussion complète de la question présenterait un bien plus grand nombre de cas. Nous nous sommes bornés, en effet, à celui où les termes du second degré dans le développement de Taylor ne sont pas identiquement nuls. Si ces termes disparaissaient en même temps que ceux du premier degré, nos conclusions seraient en défaut, mais nous ne développerons pas la discussion de ces cas particuliers dans lesquels trois branches de courbe se réunissent, en général, au point singulier considéré.
467. Pour déterminer les points singuliers de la courbe représentée par l'équation
on doit, d'après la théorie précédente, chercher d'abord les valeurs de x et de v qui satisfont, s'il est possible, aux trois équations
Pour les obtenir, on devra éliminer une inconnue, y par exemple, entre les deux premières équations, et l'on obtiendra une équation finale en x, parmi les racines de laquelle se trouveront les valeurs cherchées de x. M. Padula a remarqué que ces valeurs sont toujours des racines multiples, et qu'il n'existe par conséquent pas de points singuliers lorsque l'équation finale n'a pas de racines égales.
Pour éliminer en effet y entre les deux premières équations (2), on peut concevoir que Ton résolve la seconde par rapport à y, et qu'après en avoir déduit
on remette cette valeur dans la première, qui devient ainsi
(p {jc) est Téquatton finale» et l'on a évidemment
Si donc on a à la fois ^ = o et ^ = o, il en résulte (f'[x) = o, et la valeur de X est une racine multiple de Téquation à laquelle elle satisfait. *
468. Il faut remarquer que la théorie précédente, reposant sur le développement de Taylor, est absolument insuffisante pour l'étude des courbes dont l'équation conduit à des dérivées infinies ou indéterminées.
On doit étudier ces cas, lorsqu'ils se présentent, d'après la connaissance des fonctions singulières qui figurent dans l'équation.
Soit, par exemple, l'équation
la fonction ^ devenant imaginaire lorsque a? est négatif, la courbe a un point d'arrêt
à l'origine des coordonnées.
Soit encore
la courbe représentée par cette équation passe par l'origine; poura? = o la fonc-
tion é^ est discontinue ; elle est infiniment petite lorsque x est infiniment petit et négatif, et infiniment grande lorsqu'il est infiniment petit et positif. Le coefficient
angulaire -£- , qui à l'origine des coordonnées est, comme on sait, égal à la limite du
rapport*^) a donc deux valeurs, l'une égale à l'unité et l'autre à zéro; la courbe a par conséquent un point anguleux.
Points singuliers des surfaces.
469. La théorie précédente s'étend aux surfaces : nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant ;
Si F [x, y^ z)=^o est r équation d'une surface^ et quen un point de cette surface les trois équations
ne soient pas satisfaites en même temps, si de plus la fonction F (a?, y, 5 ) est finie L 62
et continue ainsi que toutes ses dérivées^ le point considéré ne présente aucune sin-^
gularité.
Nous regardons un point comme ne présentant aucune singularité^ lorsque la sphère infiniment petite dont il est le centre coupe la surface suivant une courbe fermée infiniment peu différente d'un grand cercle.
SoienUa^ by c^ les coordonnées d'un point M, situé sur la surface dont l'équation est F (a?, y, z)=o. Si a -h cc^, b-^y^^ c-i-z^ , sont les Coordonnées d'un point infiniment voisin situé sur la même surface, on aura
(i) F{a-\-Xi, *-hji, c-hz,) = o>
ou, d'après le théorème de Taylor, et en ayant égard à ce que le point M est luimême situé sur la surface,
dF d¥ rfF ^^
(-) ^' rfâ"^^' rfF"^^' j^ + M = ^'
M désignant une somme de termes tous du second degré, au moins, par rapport
^iX^,y,,Z^.
Soit R le rayon de la sphère par laquelle on veut couper la surface, a, p, 7, les angles formés avec les axes par le rayon vecteur qui réunit le point M à l'un des points d'intersection ; on aura
j:i = Rcosa, /, = Rcosp, Z, = RC0S7,
et l'équation (a) devient, en supprimant le facteur R,
/Q^ dV , rfF rfF . „-.
( 3 ) cos a -^ — ^ cos p -^ -h cos 7 -1- 4- RM, = o ,
Mf étant une fonction de a, j3, y et de R, qui, en général, a une valeur finie quand on suppose R = o.
L'équation (3) nous apprend que la somme
rfF ,rfF rfF
cosa-^-hcosp^ + cosy^,
est infiniment petite avec R, et comme la normale à la surface fait avec les axes
des angles dont les cosinus sont proportionnels à -j- 5 ^r > -j- > on voit que le rayon
vecteur qui forme les angles a, |3, y, fait avec cette normale un angle infiniment peu différent d'un droit, et que le point où il perce la sphère est à une distance infiniment petite du grand cercle suivant lequel elle est coupée par le plan tangent. • Il reste à prouver que l'intersection de la sphère et de la surface est une courbe
UVRE SEœND. - DÊVELOPPEAIBNTS EN SÉRIE. 49i
fermée. Pour cela posons
da
-^ = A-cos^,
-p-=r Arcosv,
et nommons 9 l'angle formé par l'un des rayons vecteurs avec la direction de la normale. On aura
COS ^ = COS a COS X -h COS p COS p 4- COS 7 COS V ,
et Téquation (3) deviendra
k cos<p + M,R = o.
Or il est clair que si un point se meut sur la sphère de rayon R en décrivant un arc
de courbe tel, que les valeurs de 9 relatives à ses extrémités soient - — s et - -h £ ,
s étant aussi petit que l'on voudra» pour une valeur suffisamment petite de R, l'équation (4) sera satisfaite en un point de cet arc, qui par conséquent coupe la courbe d'intersection de la surface avec la sphère de rayon R. Toute courbe qui
traverse le grand cercle dont l'équation est 9 = - ? traverse donc aussi l'intersection
de la sphère avec la surface; il faut pour cela que cette ligne soit fermée et qu'elle diffère infiniment peu d'un grand cercle ; la surface ne présente donc aucune singularité.
