Lorsque les trois équations

, , df d¥ rfF

sont satisfaites, le point correspondant M de la surface peut présenter diverses singularités, nous nous bornerons à déterminer dans ce cas, et en supposant qu'aucune autre condition exceptionnelle ne se présente, le cône formé par les droites qui touchent au point M les courbes tracées sur la surface.

En désignant par a-f-a?^, 64-j^,, c-hz,, les coordonnées d'un point de la surface voisin du point singulier dont les coordonnées sont a, 6, c, et en ayant égard aux conditions (1), le théorème de Taylor permettra de mettre l'équation F ( a?, j^, s) =0 sous la forme

i/rf*F ,^rf»F . rf»F . d'Y . rf^F . rf'F \ „

l\'d^''^^'Wy^'^'dF^''^^d^b''^r^'^^d^^

49â PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

M coDtenaDt des termes du troisième ordre» ou d'ordre supérieur, par rapport k a?,, j,, Z|. Si l'on coupe la surface par une sphère de rayon infiniment petit R, ayant son centre au point M, on aura, en désignant par a, j3, y les angles formés par les axes de coordonnées avec le rayon vecteur qui aboutit à l'un des points d'intersection

^, =Rc0Sa, ^, = RcOSp, Z,=:RC0S7.

Par la substitution de ces valeurs, le facteur R' figurera à tous les termes de M, et l'équation deviendra, en supprimant ce facteur,

/rf'F , d'¥ ,, rf»F ,

et les angles a, jS» y» sont donc tels, que le polynôme placé entre parenthèses soit infiniment petit avec R; il en résulte évidemment que toutes les courbes tracées sur la surface sont tangentes aux génératrices du cône lieu des droites pour lesquelles cette condition est remplie, et qui a pour équation

,d'¥ ,d'T ,d'F rf«F rf»F d'¥

^' lïô^ "^^' W -^ '• ■5cT -^^^'^•' 50^ + ^^'' "• 3fc^

c'est un cône du second degré. S'il est imaginaire, la surface n'a pas de tangentes au point M, qui est par conséquent un point isolé.

471. Il existe sur certaines surfaces, des lignes singulières suivant lesquelles elles sont touchées par un même plan, et dont la recherche se rattache naturellement au sujet traité dans ce chapitre.

Soit

l'équation d'une surface. Si l'on pose

ûfz dz __ dx'-P' ^~^'

l'équation du plan tangent est

Les coordonnées du point de contact en variant infiniment peu, deviennent x -h dx^ y-\'dy, z-hdz; les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (a) reste la même, sont évidemment

dz=pdx '^qdx dp=:Of dq = o.

La première est toujours satisfaite. Quant aux deux suivantes, elles peuvent s'écrire

et pour qu'elles soient compatibles, on doit avoir «

dp dq dp dq

dx' djr dy dx

Si Ton pose

dx^-^"^' ^j»~'' dxdy-^'

cette équation équivaut à

elle détermine sur la surface la courbe suivant laquelle elle peut être touchée par un plan. Il faut bien remarquer que si l'on a trouvé sur une surface une courbe pour les points de laquelle l'équation (5) soit satisfaite, il n'est pas certain pour cela que le plan tangent soit le même en tous les points de*cette courbe; il faut encore, en effet, que les deux équations (4) soient satisfaites, lorsque ^ et ^ désignent les déplacements infiniment petits effectués sur cette courbe. Lorsque l'équation r/— 5* = o est satisfaite pour tous les points d'une surface, on peut trouver en chaque point une direction suivant laquelle on peut déplacer le point de contact du plan tangent, sans que celui-ci change de position; chaque plan tangent touche alors la surface suivant une ligne, et celle-ci étant l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation ne contient évidemment qu'un seul j)aramëtre, est une surface développable.

EXERCICES

1. Aucune courbe algébrique ne présente de points d'arrêt; en d'autres termes, le cercle infiniment petit ayant pour centre un point d'une courbe algébrique, ne coupe jamais la courbe en un point unique.

2. Aucune courbe algébrique ne présente de points anguleux ; en d'autres termes, le cercle infiniment petit ayant pour centre un point d'une courbe algébrique, ne coupe jamais la courbe en deux points séparés par un arc dont la limite diffère de zéro ou d'une demicirconférence.