CHAPITRE X

THÉORIE DES MAXIMÂ ET MINIMÂ.

McLxima et minima des fonctions d'une seule variable.

472. Lorsqu'une fonction 9 [x)^ pour une valeur a de la variable, est plus grande que pour toute valeur infiniment voisine, plus grande ou plus petite que a, on dit qu'elle est nuixima. Si au contraire la fonction est moindre que pour toute valeur de la variable infiniment peu différente de a,.on dit qu'elle est minima. Nous avons déjà remarqué que la variable croissant d'une manière continue, la dérivée de la fonction, positive lorsque celle-ci est croissante, négative lorsqu'elle est décroissante, est égale à zéro pour les valeurs qui correspondent aux maxima et aux minima. C'est là le théorème fondamental de la théorie qui nous occupe, mais il doit être complété par l'étude des caractères qui distinguent le maximum du minimum et des cas dans lesquels, la dérivée étant nulle, il n'y a cependant ni maximum ni minimum.

473. Soit 9 [x) une fonction continue de la variable x\ en nommant h un petit accroissement attribué à ^, on a

(i) y(:F-h/i) — ?(:r) = Aç'(j:)-h -j^ ^p" (^ -h ôA),

OÙ Q est un nombre compris entre zéro et l'unité. Si tf' [x] n'est pas nul, et que f" {x) reste fini pour les valeurs considérées de la variable, il est clair que, h étant infiniment petit, le terme du premier degré en h donne son signe au second membre de l'équation (1), la différence 9 (ic-f-A) — ç(a?) change par conséquent de signe avec A, et la valeur de x ne correspond ni à un maximum ni à un minimum. La Condition commune au maximum et au minimum est donc, comme nous le savions, que la dérivée 9' (x) soit égale à zéro. En supposant cette conditÎQn remplie pour la valeur particulière x = a,\e théorème de Taylor donne

(2) ç(a-hA)-?(a) = ^f'(a)-+. --^ ^-(a + OA).

Si f" {a) n'est pas nul, le premier terme, pour de petites valeurs de A, donne son signe au second nombre, et la différence 9 fan- A) — 9 (a) est par conséquent, quel

496 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIGl.

que soit le signe de h, de même signe que 9'' (a). Il y a donc minimum si <f"{a) est positif et maximum dans le cas contraire.

Lorsque 9'' (a) est nul en même temps que f'(a), le théorème de Taylor donne

Si '^'"[a) n'est pas nul, le premier terme donnant pour de petites valeurs de A son signe au second membre, le signe de la différence y (an- A) —9 (a) change avec celui de h, et il n'y a ni maximum ni minimum.

Le même raisonnement montre que si <f'"{à) est nul en même temps que ^"{a) et ff'[a), il y a maximum lorsque f'^(a) est négatif, et minimum lorsqu'il est positif.

En général, pour que la fonction <f\x) soit maxima ou minima pour la valeur x = a de la variable, il faut que dans la suite des dérivées 9' (a), ^"(a), o" [a],..., la première qui ne s'annule pas soit d'ordre pair; si cette dérivée est négative, il y a maximum, et si elle est positive, minimum.

Appliquons la règle qui précède à la solution de quelques problèmes.

474. PuOBLÈME [.— Trouver la plus courte distance d'une courbe plane donnée par son équation y =zf{x), à un point donné dans sonplanpar les coordonnées (a, |3). Le carré de la distance que l'on veut rendre minima est

vêtant donné en fonction de x, cette expression ne dépend que d'une seule variable. La règle précédente est donc applicable. En égalant sa dérivée à zéro , on a

Cette condition commune au maximum et au minimum exprime que le point donné, dont les coordonnées sont a et /3, est situé sur la normale menée à la courbe par le point dont les coordonnées sont x etj. Pour distinguer le maximum du minimum, il faut examiner le signe de la seconde dérivée

Il y a maximum si cette expression est négative, et minimum si elle est positive. Lorsqu'elle est nulle, il n'y a, en général, ni maximum ni minimum.

Si le point représenté par les coordonnées a, |3, se meut sur une normale de la courbe donnée, ar et y étant les coordonnées du pied de cette normale, l'expression (2) ne changera de signe qu'une seule fois, et ce sera pour la valeur de jS qui

la rend nulle. Il existe donc sur chaque normale un point qui sépare ceux dont la distance à la courbe comptée sur cette normale est un minimum, de ceux dont la distance est un maximum. La normale comptée à partir de ce point n'est ni maxiina ni minima, en sorte que le cercle tangent a la courbe décrit de ce point comme centre n'est ni complètement intérieur dans le voisinage du point de contact, car la distance serait minima, ni complètement extérieur, car elle serait maxima; mais les distances de son centre aux points de la courbe étant les unes plus grandes, les autres plus petites que son rayon, il traverse la courbe, à laquelle il est cependant tangent, puisque son centre est situé sur la normale au point qui leur est commun. Ce cercle remarquable, que l'on nomme cercle osculateur, joue un grand rôle dans la théorie des courbes, et nous aurons à l'étudier sous d'autres points de vue.

475. Les résultats précédents s'étendent aisément aux courbes à double courbure. Soient j== 9(0?), z = i^[x)j les équations d'une telle courbe, et «, j3, 7 les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, le carré de la distance de ce point à un point de la courbe ayant pour coordonnées a?, y, z, est

Pour que cette distance soit maxima ou minima, il faut que la dérivée soit nulle, la condition commune aux deux cas est donc

Cette équation exprime que le point a, j3, 7 est situé dans le plan normal à la courbe menée par le point x, y, z. La ligne maxima ou minima est par conséquent une normale comme dans le cas précédent. Le signe de la seconde dérivée

apprendra si la distance est maxima ou minima. Le pied de la normale étant donné, les points du plan normal dont la distance à ce pied est un minimum, sont séparés de ceux pour lesquels elle est minimum par une droite dont l'une des équations s'obtient en égalant à zéro l'expression (a). L'autre équation est évidemment celle du plan normal. Le caractère des points de cette droite est que leurs distances au point 07, j, z, quoique normales à la courbe, ne sont ni maxima ni minima; elle est, comme nous le verrons plus tard, l'axe du cercle osculateur de la courbe à double courbure.

476. Le problème que nous venons de résoudre présente dans un cas particulier L 63

une difficulté qu'il est bon de signaler; supposons que la courbe donnée soit un cercle ayant pour équation

et que le point donné, situé sur Taxe des X, ait a pour abscisse, le carré de la distance considérée est

{x — a)*-h/» = R» — 2aj:-|-a'.

En égalant sa dérivée à zéro, on trouve

équation impossible. Fautai conclure de là, contrairement à Tévidence, que la distance considérée n'est pas susceptible de minimum? La méthode générale est évidemment en défaut dans le cas actuel. La démonstration même que nous en avons donnée rend raison de ce cas d'exception. Nous avons admis en effet que, 9 (a) étant minimum, la différence y (a -f- A) — f (a) est positive, quel que soit le signe de la quantité trës-petite h. Or dans le cas actuel, la variable x désignant l'abscisse d'un point du cercle, est comprise entre — R et -f-R. Si donc on lui attribue une de ces valeurs extrêmes, le signe de son accroissement est déterminé, et le raisonnementfondé sur ce que ce signe est arbitraire, cesse d'être applicable. Il peut donc, dans ce cas, y avoir maximum ou minimum de la distance, sans que la dérivée soit nulle, et c'est ce qui a lieu pour les points où la courbe rencontre l'axe des X , et dont les abscisses sont ±:R.

477. Problème IL — Deux portions d'un plan sont séparées par une ligne droite

indéfinie OX; la lumière se meut en ligne droite dans chacun des deux milieux^ a\?ec

une vitesse qui varie, suivant une loi connue^ a*?ec la direction du rayon. On demande

quel chemin elle doit suis^re pour parvenir d'un point A du premier milieu, à un

point B du second ^ dans le moindre temps possible.

. Soit a la distance du point A au-dessus de la ligne OX, et b celle du point B audessousde cette même ligne. Si M est le point où le rayon de lumière doit traverser OX, de telle sorte que la route la plus rapidement parcourue soit AMB, on a, eu nommant d la distance PQ comprise entre les projections des points A et B sur OX, et 9 et ^ les angles formés par MA et MB avec la normale a OX,

(i) a lang<p-|-frtangTli = rf;

de plus, u^iv désignant les vitesses de la lumière lorsqu'elle suit les directions AM et MB, le temps employé à passer de A en B est

U COSf i'C0S^^ '

c'est cette somme qu'il faut rendre minima. Elle ne dépend évidemment que d'une seule variable, car 9 et ^j/ sont liés par l'équation ( t ), et t/ et (^ en sont des fonctions données. On trouve en difTérentiant l'équation ( i )

^^^ côs^'^cos»+""^'

et puisque la différentielle de l'expression (2) est nulle quand il y a minimum, on doit avoir en même temps

{u/vsincp ^ adu bd '^sin^ bdv

^ ^ ^ Il COS' f M' COS <p V CCS* + V^ COS* ^^ '

ce qui, en vertu de l'équation (3), se réduit k

siHf COS y sin 4» cos ^

^ ' u ,rf© V ^d^

du dv

Cette équation, Jointe a la relation ( i ), détermine les angles 9 et tp ; elle est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. L'inverse du premier membre est

dff

— tt ^ sin <p -h cos r

Si l'on considère* z/ et 9 comme les coordonnées polaires d'un points le pôle étant placé en M, et l'axe polaire perpendiculaire a OX, le lieu des points correspondants aux diverses valeurs de 9 est une courbe que l'on peut considérer comme donnée, et dont la tangente fait avec le rayon vecteur un angle Y défini par l'équation

^r do

l'expression (6) devient alors

— utangV — u sin V

— lang V sin y + cos <p cos ( V -H y )

Or ".y . est la portion de la perpendiculaire à l'axe polaire comprise entre

le pôle et la tangente à la courbe^ c'est-à-dire la distance du point M au point où la droite XX' est coupée par ta tangente menée à la courbe par le point où elle rencontre le rayon MB.

Si l'on construit de mêine et do même côté de la ligne de séparation la courbe

dont les rayons vecteurs sont proportionnels à la vitesse de propagation dans le second milieu, le second membre de Téquation (6) représente la distance comprise entre le point M et le point où la tangente à cette seconde courbe coupe XX'; il résulte de la que les deux tangentes doivent se rencontrer sur XX', et Ton est conduit au théorème suivant :

En admettant que la lumière se propage suivant une loi telle, que le temps du trajet soit un minimum, pour connaître le rayon réfracté correspondant à un rayon incident ÂM, on prolongera AM jusqu'à la rencontre de la courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses dans le premier milieu, puis parle point d'intersection, la tangente à cette courbe, du point où cetCe tangente perce la ligne de séparation, on mène enfin une tangente à la seconde courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses de propagation dans le second milieu. Le point de contact de cette tangente est situé sur le rayon réfracté.

478. Problème III. — Trouver les deux axes delà section d'un elUpsoïde par un plan donné passant par son centre, en les considérant comme les rayons vecteurs rruixima et minima de cette section. '

Soit

Téquation de Tellipsoïde. Le rayon vecteur r qui forme avec les axes les angles a, j3, 7, est donné par la formule

. . I COS'a COS'P , CCS* 7

11 ne dépend que d'une seule variable, car en nommant /, m, n, les angles formés avec les axes par la normale au plan de la section considérée, on a évidemment

ces* a -\- COS* P H- ces' 7 = 1,

ces a ces /-h cos p cos m -h COS7 ces n = o.

- étant maximum lorsque r est minimum et réciproquement, nous résoudrons le

problème en égalant a zéro la différentielle de -^9 et considérant cos J3 et cos 7 comme des fonctions de cos a, définies par les équations (3); on aura

, , . cos « d cos a . cos B d cos 6 cosy d cos 7

La différentiatioD des équations (3) donne d'ailleurs

COSa^ COSa+COS^tif COSp + COSyd C0S7 = O,

cos/dcosa-hcosmrfcosp-f-cos/id cos7= o.

Il faut de ces deux dernières équations déduire d cos ^ et dcosy et les substituer dans (/|); celle-ci se réduira alors au produit de dcosa par un coefficient qu'il faudra égaler à zéro; or ce calcul revient évidemment à éliminer dcosaf dcos^f C/COS7, entre les équations (4) et (5). Pour y parvenir» la méthode la plus simple consiste à ajouter ces équations après avoir multiplié deux d'entre elles par deux facteurs indéterminés >«» X3, puis à égaler à zéro les coefficients des trois différentielles ; deux des équations ainsi obtenues servent à déterminer les multiplicateurs X4 et X2» tels, que l'addition fasse disparaître deux des différentielles» et la troisième équation est alors précisément le résultat de l'élimination. On obtient ainsi les relations

cos« . ^ ,

; h ^1 COS a -f- >, COS / =0,

or

(6) — t;-^-I->, cosp-f-X,cosm = o,

— ~ H- >i cos 7 H- >j cos n = o.

cr

En éliminant entre elles X| et X3, on obtiendra la relation qui convient aux rayons vecteurs maxima et minima.

En ajoutant les équations (6) après les avoir respectivement multipliées par cos a, cosjS, cos 7, il vient, en ayant égard à (i) et (3),

et les équations deviennent, en remplaçant X4 par ;»

c<>s«(^,-^)h-^.cos/ = o,

(8) cosp (i — -î;V+3iiCOsm = o,

<^^S7 (^ — ^,)H-^«cosn=o,

d'où l'on déduit, en ayant égard à la seconde équation (3),

cos' / cos* m cos' n

tm PREMIÈRE PARUE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Cette équation, qui est du second degré en -; , détermine les longueurs des deux

axes; r étant regardé comme connu, les équations (8) font connaître cosa, cosjS, C037; elles donnent en efiet

cos / cos m cos n

cos a COSp cos 7

et la somme des carrés des trois cosinus étant égale à Tunité, ils peuvent être regardés comme connus.

Solution géométrique de quelques problèmes.

479. Lorsqu'une fonction devient maxima ou minima, sa difTérentielle est nulle, et la variation correspondante à un accroissement infiniment petit de la variable dont elle dépend, se réduit à zéro quand on néglige les infiniment petits du second ordre. Cette considération peut s'appliquer directement dans un grand nombre de cas et fournir souvent une réponse trës-simple aux questions de maxima et de minima.

Reprenons, par exemple, le problème déjà étudié {iTi): Trower la plus courte distance d'un point à une courbe.

Soit O le point donné, et OM la distance minima. Si Ton nomme M' un point infiniment voisin de M, situé sur la courbe, il faut que la différence OM' — OMsoit nulle, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Or cette différence est égale (21 ) au produit de MM' par le cosinus de l'angle formé par OM avec MM'; ce cosinus doit donc être nul, et par conséquent la ligne de longueur minima ou maxima est une normale.

Cherchons pour second exemple un point situé sur une courbe donnée, et tel qUe la somme de ses distances a deux points donnés soit minima ou maxima.

M étant le point cherché, et Â,. B les points donnés, il faut que la somme ÂM + BM soit égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la somme AM' H-BM', relative à un point infiniment voisin. Or les accroissements de AM et de BM sont égaux (21 ) aux produits de MM' par les cosinus des angles formés par sa direction avec les lignes AM et BM; ces cosinus doivent donc être égaux et àe signes contraires, et par conséquent la somme AM + BM est minimum lorsque les deux lignes AM et BM forment des angles égaux avec la courbe donnée sur laquelle se trouve le point M.

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEBŒNTS EN SÉRIE. 503

Maxima et minima des Jonctions de deux variables,

480. Soit 9 (^, j) une fonction de deux variables indépendantes ^retj, les valeurs maxima et minima sont telles, que la différence

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites, positives ou négatives, attribuées à A et à ^. Le théorème de Taylor donne

(i) y(:r-^A, j-hfr) — ?(^,r)=A2|4-A-^-f-U,

et pour des valeurs infiniment petites de h et de A:, R est négligeable par rapport aux deux premiers termes, toutes les fois que ceux-ci sont différentes de zéro. Or ces termes, qui déterminent les signes du second membre, changent de signe sans changer de valeur quand on change A en —A et A en —k\ l'accroissement de la fonction ne peut donc avoir un signe invariable que si l'on a a la fois

ce sont les conditions communes au maximum et au minimum.

On peut remarquer que la fonction (p (or, y\ étant maximum ou minimum lorsque a? et j sont l'un et l'autre variables, doit l'être à fortiori si on laisse Tune de ces quantités constantes. La règle relative aux fonctions d'une seule variable devient alors applicable et permet d'écrire immédiatement les équations (a). Mais ces deux équations ne sont pas suffisantes; en les supposant satisfaites, le théorème de Taylor donne

R étant pour de petites valeurs de h et de k, négligeable par rapport aux trois

premiers termes du second membre. Si donc les trois dérivées ^t—j , ! > ^—^ ne * dx^ dxdy dy^

sont pas nulles, le signe du second membre, pour des valeurs infiniment petites de

h et de ky sera le même que celui du trinôme

il y aura maximum ou minimum si cette somme reste toujours négative ou toujours

positive pour toutes Jes valeurs très-petites attribuées à â et à ifc; or, en écrivant l'expression (4) de la manière suivante :

2 Idx''^ hdxdx \fij dy^y

on voit que son signe dépend seulement du second facteur, lequel est une fonction

k du rapportai qui peut varier de — ao à h-qo , et pour que le trinôme conserve

toujours le même signe, on doit avoir

Cette condition exige évidemment que ^et j-^ aient le même signe; s'ils sont négatifs, le trinôme (4) est négatif, et il y a maximum; il y a minimum, au contraire, lorsque, l'inégalité ( 5 ) étant satisfaite, -r-f et ^sont positifs.

Lorsque les valeurs de a; et de 7 qui annulent ^ et -^j donnent

\dxdx) "U^^JUr)"'''

le trinôme (4) ne peut pas changer de signe, mais il peut devenir nul, et si l'on donne au rapport r une valeur convenable, les termes du second ordre disparaissent dans le second membre de l'équalion (3), et ce sont ceux du troisième dont la somme im^pose son signe au développement; or ces termes changent de signe sans

k changer de valeur, lorsque, laissant -r invariable, on change h en — h, et k en —k;

il n'y a donc ni maximum ni minimum si, pour la valeur considérée du rapport 79

leur somme est difîérente de zéro; lorsque la somme des termes du troisième ordre est nulle en même temps que celle des termes du second, ce sont ceux du quatrième

ordre qui, pour cette valeur du rapport 79 imposent leur signe au développemeat,

et comme ils ne changent pas de signe lorsque h se change en -^ h ei k en — k, il suffira, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que ce signe soit le même que

celui que conserve la somme des termes du second ordre pour les valeurs de t

qui ne l'annulent pas.

481. Si les trois dérivées du second ordre ^—i ^> 3~J"' ^^^' nulles en même

UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. tm

temps que celles du premier, il faut» pour qu'il y ait maximum ou minimum, que les quatre dérivées du troisième ordre soient nulles aussi pour les mêmes valeurs des variables, et qu'en outre l'ensemble des termes du quatrième degré en A et ^ dans le développement de Taylor ait un signe invariable : cette dernière condition sera remplie si, en égalant à zéro la somme de ces termes, l'équation du

quatrième degré en j qui en résulte a toutes ses racines imaginaires.

Fonctions d'un plus grand nombre de variables.

482. L'étude des maxima et minima d'une fonction d'un plus grand nombre de variables repose sur des considérations entièrement semblables aux précédentes. Soit qp(a?,j, z) une fonction de trois variables indépendantes; pour qu'elle soit maxima ou minima, il faut que la différence

«p(x-hA,7H-/r, js-h/) — y(;r,7, z)

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites attribuées aux accroissements A, A, /. Or on a (395)

R étant, pour de très-petites valeurs de A, k, /, aussi petit que l'on veut par rapport à la somme des trois premiers termes, qui par conséquent influent seuls sur le signe du second membre. Ce signe ne peut être invariable que si l'on a

d9 df do

Ces conditions étant supposées remplies, le théorème de Taylor donne

2 dx^ 2 ar 2 dz* Htxdy^ dxdz dydz

R étant, pour de très-petites valeurs de A, k, /, aussi petit que l'on voudra par rapport aux termes qui le précèdent. Il faut donc, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que le polynôme

2 dx^ 'i' d)' 2 dz^ dxdy dxdz dydz

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites attribuées à A, k et/.

506 PREBflÈRE PARTIE. - CALCUL KFFÉRENTIEL.

Or il est permis de supprimer cette condition relative à la petitesse des accroissements. En mettant en effet en facteur la quantité positive A^, on voit que le signe

du polynôme ne dépend que des rapports ^ et t- qui sont entièrement arbitraires et

peuvent varier de — oo à -h oo . Cela posé, la condition cherchée se trouvera de la manière suivante. Soit le polynôme

(i) AA'-+-BA»-hC/»-h2DA/rH-2EA/-f-2F/r/.

Pour exprimer que son signe reste invariable, quelles que soient les valeurs attribuées à A, kf l, on commencera par réunir tous les termes qui contiennent A, auxquels on ajoutera les termes nécessaires pour compléter un carré, lesquels bien entendu seront ensuite retranchés; l'expression (i) devient ainsi

' •) ■*(*-¥- 'xT- ('=- B '-(• -?)''-"(» - t) "■

On réunira ensuite dans les termes qui suivent le premier, tous ceux qui contiennent A", en leur ajoutant les termes nécessaires pour compléter un carré. L'expression {'2) devient ainsi

elle est par conséquent mise sous la forme

(4) \{h-h m/c -h niy -{- A' {l -{-phy -{' XH\

A, A', A'', m, n,pf étant des constantes connues. Il est clair qu'une condition suffisante pour que le signe de (4) soit invariable, est que A, A', A", soient de mêmes signes; cette condition est en même temps nécessaire, car, A, kj étant arbitraires, on peut réduire a zéro deux quelconques des trois carrés qui multiplient A, A', A", sans y réduire le troisième, dont le coefficient donnera par conséquent son signe à la somme totale, et si ces trois coefficients n'ont pas le même signe, la somme peut, suivant les valeurs de A,.A, /, prendre des signes différents.

483. La théorie précédente s'étend sans difficulté aux fonctions d'un nombrr quelconque de variables. La condition commune au maximum et au minimum est que les dérivées de la fonction par rapport à chacune des variables dont elle dépend soient toutes égales à zéro; il faut en outre que le polynôme homogène formé par les termes du second ordre dans le développement de l'accroissement de la fonction ait un signe invariable quels que soient les accroissements des variables; cette con-

dition s'exprimera comme dans le cas de trois variables, en mettant le polynôme sous la forme d'une somme de carrés multipliés par des coefficients constants qui devront avoir tous le même signe. Il y a maximum lorsque tous sont négatifs, et minimum lorsqu'ils sont tous positifs. S'ils sont de signes différents, il n'y a ni maximum ni minimum.

Au lieu de dire que les dérivées de la fonction sont toutes nulles pour les valeurs des variables qui correspondent au maximum ou au minimum, on peut dire que la différentielle totale de la fonction est égale à zéro. Cette ditTérentielle étant la somme des produits des dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables, les deux énoncés sont évidemment équivalents. Le second est pourtant, dans certains cas, d'une application plus facile.

Maxima et minima des fonctions implicites,

484. La théorie précédente s'applique sans changement aux fonctions implicites; on peut concevoir en effet que des opérations algébriques les transforment en fonctions explicites; les conditions relatives au maximum ou au minimum s'exprimeront alors au moyen de dérivées que l'on peut calculer a l'avance par la méthode connue pour la dif[*érentiation des fonctions implicites. La manière la plus commode de former dans ce cas les conditions communes au maximum et au minimum consiste à égaler à zéro la différentielle totale de la fonction considérée.

Soit 9 (a?!, x^y x^. . . Xm+n) une fonction de /w-h/i variables entre lesquelles on donne n relations, L, = o, L2 = o. . . , L;, = o. La condition commune au maximum et au minimum est

Les variables a?,, jj^,..., a7,„^.^, étant liées par n équations, leurs différentielles satisfont à n équations du premier degré:

rfLi j dLn j rfL, ,

rfLj , dhi J rfLj ,

dhn , , dhn , dL„ J

Si par le moyen da ces n équations, on élimine du premier membre de l'équation (i) un nombre égal de différentielles, cfcr,, dx^, . . . , dx^ par exemple, toutes celles qui resteront pourront alors être considérées comme arbitraires, et l'on égalera ensuite à zéro les coefficients de chacune d'elles. On obtiendra ainsi m équations

qui, jointes aux n équations données, détermineront les valeursdes m-^n inconnues

pour lesquelles il peut y avoir maximum ou minimum.

485. Pour éliminer les différentielles cfcr, , dœ^, . . . , dx„f on peut ajouter les équations (i) et (2) après avoir multiplié les dernières par des facteurs Xf, X2 , . . . > X;,, que l'on déterminera de manière à rendre nuls les coefficients de ces différentielles : on devra ensuite, comme il a été dit, égaler à zéro les coefficients des diff'érentielles restantes, en sorte que, pour dçs raisons différentes il est vrai, tous les coefficients auront été égalés à zéro, et Ton aura m + n relations entre les n multiplicateurs et les inconnues primitives, sans que le choix arbitraire des différentielles éliminées ait altéré en rien la symétrie des formules. Les équations ainsi obtenues sont

dxt ' dxt ' dxi ' ' " dxi

aXi axt dXi axi

d'à rfLi ^ rfLj • ^ rfL«

dXm^u ' dx^+n * dXm+m " dx^

Il faudra leur adjoindre les n équations données L4 = o, L, = 0, . . . , L;,=: o, et le nombre total des équations se trouvera égal à celui des inconnues auxquelles il faut adjoindre les multipKcateurs X|, X2, . . . , X„.

486. Comme application de la théorie des maxima des fonctions implicites, nous chercherons le polygone de plus grande surface que l'on puisse faire avec des côtés donnés.

Soient a74,j,, ajj, jj, . . . »^/i, Jn. les coordonnées inconnues des sommets du polygone, la surface qu'il s'agit de rendre minima a pour expression

( 1 ) S= ^ ( j:, —X,) (7, -t-J.) 4- - (x^—x,) (j,-f-j,)'4-...-h ^{x^—x, ) Cr.-hr-)»

c'pst-à-dire

(2) - [y, (^«—■rO-+-r»(^i — ^3) -+-73(^1 — ^4)-!-. . .-f-j,{x,, — JF,)].

Les relations données entre les 2n variables â?i , ^2> •••> ^«^Ji» Ja. •••>/«» sont

a] =(x, — x,y-h{}\—X2Yf

a; = ( JF, — JTa )'-!- (j,— j, )S (3)

ûî = ( ^» — A?, )'4- (xn—r^ )".

La condition du maximum , dS = o, est ici

les différentielles qui y figurent étant liées par les n équations

(:r,— j;,)rf(^'— ^O+Cj'— rO^'Cr»— rO = o> (5)

(^„ — a:, ) rf [x^—Xx ) H-( j„— Ji ) dijTn — r») = o,

au moyen desquelles on peut éliminer de l'équation (4) les différentielles fliir, , â^iTs» . . . , dx„; chacune d'elles figurant dans trois équations seulement, les multiplicateurs qu'il faut adopter pour que l'élimination se fasse par addition sont faciles k trouvera et l'on obtient une équation de la forme

(6) ^ K^dxt-hK,dx.-h...-hlLdxn = o, où l'on a

K,=:r,,-x, + (r^.+r.)(ç=^)-(.n-hr.)f=J-

L'application de la règle générale conduirait à égaler maintenant à zéro chacun des coefficients Ao k^, . . ., kn, mais ce serait commettre une grave erreur. Les n équations données entre ar^j,, o^jjjo» • • 'f^n^ynt ne laissent pas en effet7oj2,...,y^ entièrement arbitraires, et les différentielles rf^,, rf^a. • • •> dy„ sont liées par une relation nécessaire, en sorte que l'équation (6) peut. être satisfaite sans que chacun de ses coefficients soit nul. Si en effet on déduit des équations (3) les valeurs de a?/— 072,^2 — ^3>--» ^/i — ^1» leur somme doit être nulle, el cette condition donne une relation entre/, , j2> • • • » Jn- La relation correspondante entre rfv< , dy^ , . . , dy„ , s'obtiendra en ajoutant les différences dXf — dxz , dx^ — dx, , . . . , dx„ — ^,r, , déduites des équations (5). L'équation ainsi obtenue est

(7) H, dy,H-H,rfr,-f- ..-i-H„d>« = o,

on

jtij î^= '— - ■ * " »

1/équation (6) devant avoir lieu pour toutes les valeurs de dy^ , rfvj , . . . , rf/^ , qui satisfont à l'équation (7), il est nécessaire et suffisant que Von ait

Telles sont les conditions nécessaires pour que la surface du polygone soit maxima. Il est facile de les interpréter géométriquement. Si Ton écrit en'effet que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, {x^^y^ (^n^O» (^oji) {^2» Va)» ^^2» J«) (^8» Jî)» concourent en un même point, on retrouvera l'équation

et Ton voit aisément que l'équation continue (8) exprime que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés concourent en un seul et môme point, et que par conséquent le polygone est inscriptible dans un cercle.

487. Cherchons, comme seconde application, le polygone de plus grande surface entre tous les polygones isopérimètres d'un nombre donné de côtés. •

En désignant, comme dans la question précédente, les coordonnées des sommets par ar, , 7< , ajj , y,, . . . , a?;, , ^„, l'expression de la surface qu'il faut rendre maxim» est

et si l'on pose encore

a\ = [x^—x, )- 4- [yn —y )\ la seule équation de condition donnée entre les 2n coordonnées est

(3) fl,-h«r,-f-.. .4-a„ = /,

d'où Ton déduit

(4) dai-hdai-h* ' -i-da„ = Oy '

UVRK SEœND. ~ DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Ml

c'est-k-dire, en remplaçant da« , da^,..,^ dan p^^i* l^urs valeurs,

o = (■^1— ^Qrfj'g.— ^»)+(r«— 70^(r'~TO . (x2—x^)d(xr—x^)^{ Yi~y\)d(y\~y\)

, {x„—xt)d{x^—x,)-h{ru — ri)rf(n— .Vi) -t- '^ "

L'équation dS ss o, qui exprime la condition du maximum^ est, comme dans le problême précédent,

o = f/r,(jr«— jc,)-|-'/n(:r,— a;3)-h...-4-rfj«(^-«-i — Xi) — ilx,{xn--Xt) — (lx,{y\~y,)—.., (6)

Si l'on écrit Téquation (5) sous la forme

(7) A,</^,H-A,rfa',-^.. .-h A„rf;r,H-B,rf;'-,-hB,c//,4-. . .-h B„</)„ = o,

il faut évidemmenti pour que Téquation (6) en soit une conséquence, que leseuetflcients des 2/1 différentielles soient proportionnels dans Tune et dans Tautre, et les équations qui expriment le maximum sont par conséquent

Si ^ r« — T^t

Si ap est l'inclinaison sur Taxe des X du côté Up^ et ^p, l'angle formé avec le mémr axe par la diagonale qui joint les points (a?^, , V;,-i), (^^h-i » v^+i )» l'équation

devient, en y remplaçant A, et B, par leurs valeurs,

sîna, — sîna„ cosp,

c'est-à-dire

cos a, — cos «, sin p,

cosp, . . . . .. . sin 8,

ou enfin, "

(11) . — , =p.-^/iff.

La directiou déterminée par Tangle |3| forme donc des angles égaux avec les côtés Un et ai ; cette direction est celle de la base du triangle dont a„ et a^ sont les côtés, celui-ci est donc isocèle, et Ton a

a^ = ax

ou verra de même que tous les côtés sont égaux. En les regardant comme donnés, le problème rentre dans le précédent, le polygone doit donc être inscriptible dans un cercle, et est par conséquent régulier. On prouverait aisément que les équations dont nous n'avons pas fait usage expriment qu'en admettant l'égalité des côtés, les angles aussi doivent être égaux; mais il est inutile d'insister sur ces développements élémentaires qui ne peuvent offrir de difficulté.

Recherche de l'expression, déforme donnée, qui, entre certaines limites , s'écarte le moins possible d' une fonction donnée.

488. M. Ttchebitcheff a appliqué la théorie des maxima et minima à la solution d'un problème très-intéressant en lui-même, et qui donne lieu à des artifices analytiques remarquables.

Une fonction <f{x) étant donnée, on propose de la représenter approximativement par une expression P de forme donnée, et contenant un certain nombre de paramètres qu'il faut déterminer par la condition que la plus grande valeur que prend entre des limites données la différence y (a;) — P s'écarte le moins possible de zéro.

Soient — A et H- A les limites données entre lesquelles reste comprise la variable X. Nommons L la plus grande valeur que prenne, entre ces limites, la différence y (a?) — P, et supposons qu'elle réponde à a? =a?, : il faut évidemment que 07 = o^i rende cette différence minima, à moins que x^ ne soit précisément Tune des deux limites —A et -f- A. Si donc on pose

(1) ç(^)p = F(^), • x^ doit vérifier l'équation

et toutes les valeurs de a?, qui font acquérir à F(a7j sa valeur maxima ±:L, satisfont à l'équation (2). Si l'on désigne ces valeurs par ^, , x^,..., a?^ , elles sont solutions communes des deux équationS

Soient /?,, ^a,...,^„, les paramètres arbitraires qui figurent dans P, et-qu'il faut déterminer de manière a rendre L un minimum ; nous allons démontrer" que les va-

leurs de ces paramètres doivent être telles» que les équations du premier degré

rfF(^.) rfF(x,) rfF(xO

rfF(^ ) rfF(^J rfF(^.)p,^ ^

soient incompatibles et ne puissent être satisfaites par aucun système de valeurs

de Ai f Asy*» A;j.

Supposons en effet que le problème soit résolu, et que Ton ait trouvé des valeurs de/>o/>2> •••>/?«> telles, que la fonction F {x), égale à =bL pour 07 = 074, a? = 073,..., x = Xfj,, soit moindre que L pour toute autre valeur de 07 comprise entre les limites, et que pour toute autre valeur des paramètres, elle puisse au contraire surpasser L. S'il est possible de satisfaire aux équations (3), les conditions précédentes ne sauraient être satisfaites. Admettons en effet que F (o?) devienne égale à ±: L pour o7 = o;4, o7 = o?j,..., 07 = 07^, ct qu'il soit moindre que L pour toute autre valeur de la variable. Je dis que l'on pourra changer les paramètres de manière à rendre le maximum de F (07) moindre que L: il suffira de remplacer />,, />2»"-> />«» respectivement par /?! — ) I w , ^2 — X2 w, . . . , />„ — X„ w , w étant infiniment petit et positif. La variation infiniment petite de F (o?) est en effet

dF{x)^ dFjx), d¥{x)^^

op, dp, dpn ^

et pour 0? = 074, 07 = 072,..., ^==^/i> elle se réduit, en vertu des équations (3), à

elle est donc de signe contraire à la fonction, dont par conséquent la valeur absolue diminue. La valeur absolue de F (07) diminuant pour 07 = 07,, et pour les valeurs voisines, devient plus petite que L; il est clair d'ailleurs que la fonction variant infiniment peu , elle reste aussi moindre que L pour les valeurs de 07, dont la différence avec X, , o?2,..., ^/A^stfinie; F(x) est donc, après la variation des paramètres, moindre queL, pour toute valeur de 07 comprise entre les limites— à et -\-h, et par conséquent les valeurs /),,/?2,..m/?/i. qu'on leur avait attribuées primitivement, ne sont pas celles qui rendent le maximum de la fonction le plus petit possible.

Il est donc démontré que les équations ( 3 ) doivent être incompatibles pour que les conditions proposées soient satisfaites.

489. Appliquons les considérations qui précèdent k la solution du problème suivant : Trouver le polynôme de degré n de la forme

qui, entre deux limites données —A et +A, s'écarte le moins possible de zéro, c'est-à-dire dont la plus grande différence avec zéro ait la moindre valeur possible. En nommant L la plus grande valeur absolue de cette fonction» lorsque x varie de — Aà -f-A, les valeurs j7| , jrj,...,^?^ de a?, auxquelles correspond cette valeur L, satisfont aux deux équations

Le nombre [i de ces solutions communes est au moins égal à n + i ; on a vu en effet que les équations

dpt dpt dpn ^

dp, dpi dpn

-dir''^-d^^'t---^~d^'-=^^''-'^^

doivent être incompatibles. Or ces équations deviennent, quand on y remplace la fonction F par sa valeur:

Or un polynôme de degré n — i peut, par un choix convenable des coeilicients, prendre des valeurs données pour des valeurs données de la variable, en nombre égal ou inférieur an: les équations (4) sont donc compatibles toutes les fois que /x est moindre que n + i, et pour que le problème soit résolu il faut par conséquent que jUL soit égal ou supérieur à n-f- 1 . Les solutions communes aux équations

sont nécessairement racines doubles de l'équation

o?! désignant en effet Tune d'elles, x = x^ annule évidemment le premier membre de (6), et il annule aussi k dérivée

^{x'—h^)F(x)¥'(x)-h!ix[¥{xY — V],

car on a, en vertu des équations (5),

Le nombre des racines auxquelles s'applique la remarque précédente étant n + i au moins, le produit

(^x' — h')[¥{xy — L']

est divisible par (n-f- 1) facteurs de la forme

{X — X^Y(X XiY. . .{x — XnY(x ^.+,)S

et comme ce produit est précisément de degré 2/1+2, il est égal à une constante multipliée par le produit de ces facteurs, et l'on a

(7) {x'—h'}[¥{xY — U] = C(x—x,Y(x — x,Y,..(x — x,^,)\

Cette équation exige évidemment que a:= — AetJc = H-A soient Fun et l'autre au nombre des racines a?, ^a?,,..., Xn^t. En supprimant les facteurs correspondants, l'équation (7) devient

(8, ¥lxY-'L'=(x^ — k')^(xY,

où

^{x) = ^C{x — Xi){x — X^)., {x — X»+^},

L'équation (8) donne

(9) [¥[x) — <f{x) v/F=T'][F(^)H-ç(a:)V^^^^^] = LS

et par suite

¥{x) — :^{x)\Jx'—h'= '- — ; r>

ou

La différence -—-^ — y^x^^h^ tend donc vers zéro lorsque x augmente, et, pour

de très-grandes valeurs dejc, elle est de l'ordre -^: sachant d'ailleurs que les

deux termes de la fraction -—-y étant deux polynômes entiers, Tun est de degré n

et l'autre de degré n — i , cette condition suffit pour les déterminer l'un et l'autre : il est impossible en effet que deux fractions différentes

dont les dénominateurs sont de degrés A et A\ aient, pourx iniini, une difTérence infiniment petite d'ordre supérieur à celui de -f^j- Si donc ç? {x)ei(f^[x) étaient, l'un

etl'autre, dedegrén— i , la différence desdeux fractions serait, au plus, de l'ordre -;^,^

et il serait par conséquent impossible que toutes deux eussent avec V-^* — ^* ^^^ différence de même ordre que ^^, •

Le problème est donc ramené à trouver une fraction -j— ri dont le numérateur soit de degré /i, et le dénominateur de degré n — i , et dont la différence avec v'.^* —A* soit, pour une valeur infinie de x, un infiniment petit de même ordre que -^;^-

Pour résoudre ce problème, il faut réduire y]x^ — h^ en fraction continue, et celle des réduites don.t le numérateur est de degré n est la fraction cherchée qui, nous l'avons démontré, est unique.

On a

donc

Vi7zr/r.;. = ^L== '^ ,

x-hv^or» — h} ix-\-[^Jx^ — A» — x)

on en conclut

Slx- — h^ — x = — j-, = jr

ix-\'{\Jx^—h} — x) ^^ A^

2xH-(v^* — A' — ^)

et l'on a évidemment, en répétant la même transformation un nombre quelconque

de fois,

2JC-1- {\lx* — A* — xY

Si Ton nomme ^^ > tt » • • • ' tt ' '^s réduites de la fraction continue

Vi Vî Vu