IX

chaque réduite se déduisant comme on sait de deux précédentes, on a, en général,

et si, danslecalcul de ~^> on remplace 2 X paraj^-f- (y/jc* — A^ — x), c'est-à-dire

parj?-f-\/^^ — A% la réduite deviendra la fraction terminée qui représente y-r^— A^; on a donc

En chassant les dénominateurs et transposant, cette équation peut s'écrire

P. — Qn v/i^=^* ={X— V^^^ITX^) (p^, Q^^, y^^niÂ^) ;

on en déduit, en remplaçant successivement n par 2, 3, 4»...,

On déduit de ces équations, en les multipliant membre a membre,

P» — Qn yjx^—h}= [x— y/x' — h^y-' (p, — Q, )/x* — h'). La première réduite t^ étant égale à - > on a enfin

l^n—Qn)/x^ — h'=:{x—^X' — h'Y

En changeant le signe de \/a:^ — A'') ce qui est évidemment permis, puisqu'une équation telle que la précédente exige l'égalité des parties rationnelles et des parties irrationnelles dans les deux membres, on aura

Pn4-Q„V'i»"=T»=(a:-+-v':r' — A0%

Si8 PREMIÈRE PARTIE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL,

et par conséquent

p ^{x^slx' — h}f + {x — slx' — h}f

La fraction ^^ est la fraction cherchée -——l dont le numérateur est de degré n, et

On ^(^) ^

la différence avec sjx^ — h^ d'ordre -^-^^ lorsque x est infini. On a trouvé en effet

par conséquent

A»(P.Q,.— P-.QJ

^x^-h^-ll =

Q- 0. [Q« ( X 4- >lx' — A») — h} 0.,]

Or le dénominateur du second membre est évidemment comparable a jr*"*^* , et le numérateur est constant, parce que les équations

P^,=2XP, — A»P^.,

donnent