P^.Q,— P, Q,+. = AMO.-. P. — P

et comme P, Qa — P2 Qi est indépendant de x, cette relation prouve que les différences analogues, relatives aux valeurs successives de n, le sont également. Le pro-

p duit de lY P^i* un facteur constant étant la fraction cherchée, la valeur trouvée pour P»

Vu

représente le numérateur F(x), c'est-à-dire le polynôme qui, entre les limites — A et + A, s'écarte le moins possible de zéro, et la solution du problème proposé est

i^[x)=c[{x+sjx^—h'Y^[x—\jx^^^Byy

Il est aisé de voir que les termes en y/x^—h^ se détruisent dans la somme des deux développements, et queF(x) est, comme l'exige l'énoncé, un polynôme entier et rationnel de degré n. Pour que le coefficient du terme en x" soit l'unité, il faut

donner à C la valeur —» et l'on a enfin

La valeur maxima que prend F {x) entre les limites —A et -1- A de la variable esi atteinte, nous l'avons dit, pour x = ±:h; cette valeur est par conséquent égale

à -;^^y et tout autre polynôme de degré n dont le premier terme est x^ doit par con-

séquent sortir des limites —^ et 4- -;^, entre lesquelles F [x) reste compris.